tailieunhanh - Giáo trình Toán A3: Phần 2

Giáo trình Toán A3 phần 2 cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân đường, tích phân mặt, định lý Green, công thức Ostrogradsky, phương trình của một đường cong phẳng,. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên đang theo học môn dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu. chi tiết nội dung tài liệu. | CHƯƠNG 3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG §1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I Chúng ta đã rất quen thuộc với tích phân xác định đối với hàm một biến f (x) trên một khoảng [a, b] là Rb f (x)dx. Lúc đó x chạy trên một đoạn với điểm đầu là a và a điểm cuối là b. Câu hỏi đặt ra là có thể định nghĩa tích phân của một hàm hai biến f (x, y) trên một đoạn, mở rộng hơn là trên một cung phẳng (tồn tại một mặt phẳng chứa cung này) hay không? Có nghĩa là điểm (x, y) chạy trên một cung phẳng (miền một chiều), điều này rõ ràng khác với tích phân kép ở chương II. Phương trình của một đường cong phẳng (nếu được giới hạn gọi là cung phẳng) Một đường cong phẳng có thể được cho bởi phương trình y = f (x) hoặc cho bởi x = x(t) phương trình tham số . Như vậy cung phẳng C có thể cho dưới dạng y = y(t) y = f (x) x ≤ x ≤ x 1 2 hoặc x = x(t) . y = y(t) t ≤ t ≤ t 1 2 Định nghĩa . y = f (x) • Cung phẳng x ≤ x ≤ x 1 2 được gọi là trơn nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên [x1 , x2 ]. • Cung phẳng x = x(t) y = y(t) được gọi là trơn nếu các hàm x = x(t) và y = y(t) t ≤ t ≤ t 1 2 liên tục trên [t1 , t2 ]. 51 Định nghĩa tích phân đường loại I Từ bài toán tính thể tích vật thể hình trụ để định nghĩa tích phân kép, một cách tương tự ta xây dựng định nghĩa tích phân đường loại một như sau. Định nghĩa . Cho hàm z = f (x, y) xác định trên một cung phẳng C với điểm đầu là A điểm cuối là B. Chia cung C thành n cung phẳng nhỏ bởi các điểm A0 = A, A1 , A2 , ., An = B và gọi độ dài cung Ai−1 Ai là ∆li . Trên mỗi cung phẳng Ai−1 Ai ta lấy một điểm (x∗i , yi∗ ). Ta cho n → ∞ sao cho max ∆li → 0, lúc đó nếu tổng n X f (x∗i , yi∗ )∆li () i=1 dần tới một giới hạn xác định và không phụ thuộc vào các điểm (x∗i , yi∗ ) thì giới hạn này gọi là tích phân đường loại I của hàm số f (x, y) dọc theo cung C và được kí hiệu Z f (x, y)dl. () C Nếu tích phân này tồn tại ta nói rằng f (x, y) khả tích trên C. Nhận xét . 1. Người ta .