tailieunhanh - On the schur modules of GLm (C)

This paper is a short review of the construction of Schur modules for the general linear group GLm(C), in which we make clear some points and complete some elementary proofs. | ON THE SCHUR MODULES OF GLm (C) (Về môđun Schur của nhóm GLm (C)) Ngô Vˇ an Định1 Abstract. This paper is a short review of the construction of Schur modules for the general linear group GLm (C), in which we make clear some points and complete some elementary proofs. Tóm tắt. Mục đích của bài báo này là trình bày cấu trúc của các môđun Schur E λ của nhóm tuyến tính tổng quát GLm (C) = GL(E), trong đó E là một không gian véctơ phức m chiều. Các môđun Schur E λ là các biểu diễn bất khả qui đa thức của nhóm GLm (C) được tham số hóa bởi các bảng Young λ với nhiều nhất m hàng. Các môđun này được định nghĩa như vật thể phổ dụng của họ các ánh xạ đa tuyến tính ϕ : E ×λ → F , từ tích Đề-các E ×λ đến các C-môđun F , thỏa mãn ba tính chất đặc trưng (các tính chất (1), (2), (3) trong phần giới thiệu dưới). Trong mệnh đề 1, chúng tôi chứng minh rằng ta có thể thay thế tính chất đặc trưng (3) bởi một điều kiện đơn giản hơn. Mỗi đồng cấu ϕ : E → F giữa các C-môđun hữu hạn sinh đều cảm sinh một đồng cấu ϕλ : E λ → F λ . Chúng tôi chứng minh trong mệnh đề 2 rằng nếu ϕ là một đơn cấu thì ϕλ cũng là đơn cấu và ngược lại. Cuối cùng, chúng tôi chứng minh trong mệnh đề 3 công thức cụ thể của tác động của đại số EndC (E) lên E λ . Keywords: Schur module, Young diagram, Young tableau, complex representation, general linear group. Introduction We are interested in the problem to describe finite-dimensional irreducible representations of the general linear group GLm (C) = GL(E), where E is a m−dimensional complex vector space, and to decompose finite-dimensional representations into irreducible components. For more details of these, we refer the readers to [1], [2], or [3]. The aim of this paper is to give elementary proofs for some properties of Schur modules E λ which are irreducible polynomial representations of GLm (C), parametrized by Young diagrams λ with at most m rows. Let us recall that a Young diagram is a collection of boxes arranged in left-justified rows, with a (weakly) .