tailieunhanh - Bài giảng Hạng của ma trận - TS. Lê Xuân Trường (tt)

Bài giảng "Hạng của ma trận" cung cấp cho người học các kiến thức: Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính, định lý Kronecker-Capelli, phương pháp khử, quy tắc Cramer. nội dung chi tiết. | HẠNG CỦA MA TRẬN Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) Ts. Lê Xuân Trường Khoa Toán Thống Kê HẠNG CỦA MA TRẬN 1 / 10 Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính Xét hệ phương trình tuyến tính a11 x1 + a12 x2 + · · ·a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · ·a2n xn = b2 am1 x1 + am2 x2 + · · ·amn xn = bm (*) Ta ký hiệu a11 a21 A= ··· am1 a12 a22 ··· am2 · · · a1n · · · a2n ··· ··· · · · amn X = x1 x2 . xn và B = b1 b2 . bm Khi đó hệ phương trình (∗) có thể viết dươi dạng dạng AX = B Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 2 / 10 Định lý Kronecker-Capelli Xét hệ phương trình AX = B. Ký hiệu A = [A B ] | {z } ↓ ma trận hệ số mở rộng Nếu rank (A) 6= rank (A) thì hệ vô nghiệm Nếu rank (A) = rank (A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất Nếu rank (A) = rank (A) = k < n thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc n − k tham số Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 3 / 10 Phương pháp khử (C. F. Gauss) Xét hệ phương trình AX = B. B1 Lập ma trận mở rộng A = [A B ] B2 Đưa ma trận A về dạng bậc thang dòng A b. đ. s. c trên dòng [A1 B1 ] −−−−−−−−−−−−→ Từ đó suy ra rank (A) và rankA. Ngoài ra, ta có AX = B ⇐⇒ A1 X = B1 B3 Xét các trường hợp sau Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 4 / 10 Phương pháp khử (C. F. Gauss) rank(A) 6= rank(A) =⇒ Hệ pt vô nghiệm rank(A) = rank(A) = n =⇒ Hệ pt có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm (bằng cách giải hệ tương đương) α11 x1 +α12 x2 · · · +α1n xn = β 1 α22 x2 + · · · +α2n xn = β 2 A1 X = B1 ⇔ ··· ··· ··· ··· ··· ··· · · · αnn xn = βn Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 5 / .