tailieunhanh - Bài giảng Hạng của ma trận - TS. Lê Xuân Trường

Bài giảng Hạng của ma trận d TS. Lê Xuân Trường biên soạn cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa, tính chất, tìm hạng ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp. nội dung chi tiết. | HẠNG CỦA MA TRẬN Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) Ts. Lê Xuân Trường Khoa Toán Thống Kê HẠNG CỦA MA TRẬN 1/5 Định nghĩa Cho A là một ma trận cấp m × n. Ta nói hạng của A là r∈ N nếu tồn tại một định thức con cấp r của A khác 0, mọi định thức con cấp cao hơn r của A đều bằng 0. (định thức con cấp k của A là định thức của một ma trận được tạo thành từ các phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột nào đó của A) −3 5 4 Ví dụ: Tìm hạng của ma trận A = 4 −2 −1 1 3 3 Ta có rank(A) = 2 vì det(A) = 0 và định thức con −3 5 4 −2 = −26 6= 0 Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 2/5 Tính chất rank(A) ≤ min{m, n } rank(AT ) = rank(A) Nếu A là ma trận vuông cấp n thì A khả nghịch ⇐⇒ det(A) 6= 0 ⇐⇒ rank(A) = n Hạng của một ma trận không đổi khi thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận đó Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 3/5 Tìm hạng ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp Ma trận bậc thang dòng Các dòng không (nếu có) luôn nằm dưới các dòng khác không Phần tử khác 0 đầu tiên (tính từ trái sang phải) của dòng phía dưới luôn nằm bên phải phần tử khác 0 đầu tiên của dòng phía trên Một ma trận được gọi là ma trận bậc thang cột nếu chuyển vị của nó là ma trận bậc thang dòng Mọi ma trận đều đưa được về dạng bậc thang bằng một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 4/5 Tìm hạng ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp A biến đổi sơ cấp −−−−−−−−→ B (bậc thang dòng) =⇒ rank(A) = số dòng khác không của B 1 2 Ví dụ: Tìm hạng của ma trận A = −1 1 −→ −→ 3 5 0 3 1 0 2 4 1 −2 1 −2 3 5 0 5 −6 −7 −→ 0 5 0 0 0 1 4 5 0 0 0 3 −1 −1 1 −2 3 5 0 5 −6 −7 0 0 −26 −32 =⇒ rank(A) 0 0 0 0 A −2 1 3 1 Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 3 −6 −26 −13 5 −7 .