tailieunhanh - Đề thi HSG Toán lớp 10 cấp trường năm 2016 - THPT Triệu Sơn 3

Nhằm giúp các bạn học sinh lớp 10 có thêm tài liệu ôn tập chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi sắp diễn ra. Mời các bạn học sinh tham khảo "Đề thi HSG Toán lớp 10 cấp trường năm 2016 của trường THPT Triệu Sơn 3" trên trang để làm quen với cấu trúc đề thi, ôn tập kiến thức và nâng cao tư duy Toán học. | TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 3 TỔ : TOÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: Toán – Lớp 10 – THPT Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4,0 điểm) Cho hàm số có đồ thị (P) a) Lập bảng biến thiên và vẽ (P). b)Tìm m để đường thẳng (d) có phương trình cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho . Câu 2. (7,5 điểm) a) Giải bất phương trình . b) Giải phương trình . c) Giải hệ phương trình . Câu 3. (4,5 điểm) a) Tìm tất cả các giá trị của để hệ bất phương trình sau có nghiệm b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A, B và AD = 2BC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường chéo BD và E là trung điểm của đoạn HD. Giả sử , phương trình đường thẳng và . Tìm tọa độ các đỉnh A, B và D của hình thang ABCD. Câu 4. (2,0 điểm) Chứng minh rằng: . Câu 5. (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn . Chứng minh rằng: . -----------------Hết----------------- TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 3 TỔ: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Câu Hướng dẫn chấm Điểm Ks và vẽ (P) đúng 2,0 2,0 Hoành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm phương trình: 0,25 Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B (1) có hai nghiệm phân biệt (*) Với điều kiện (*), gọi hai giao điểm là , trong đó là các nghiệm của (1). Theo định lý Viet ta có: . 1,0 Ta có: EMBED EMBED 0,5 Đối chiếu điều kiện (*) ta được m = 4 là giá trị cần tìm. 0,25 2,0 ĐKXĐ: Ta có: với mọi , nên BPT EMBED 1,0 EMBED EMBED Vậy BPT có tập nghiệm 1,0s 2,0 ĐKXĐ: Đặt: PT trở thành: EMBED 1,0 EMBED Với 1,0 Với Vậy phương trình có tập nghiệm là: 2,0 Điều kiện: (*) Vì x = 0 và y = 1 không phải là nghiệm của phương trình nên EMBED (do điều kiện (*)) 1,0 Thay vào PT (2) ta được: (3) ĐK: (3) Đối chiếu với ĐK thấy hệ phương trình có nghiệm: 1,0 2,0 ĐK: . Khi đó bpt: BPT (3) 1,0 Đặt Ta được bpt: (4). Bài toán trở thành tìm m để (4) có nghiệm Xét hàm số trên đoạn . Để bpt (1) có nghiệm thì 1,0 2,0 Qua E dựng đường thẳng song song với AD cắt AH tại K và cắt AB tại I Suy ra: +) K là trực tâm của tam giác ABE, nên BK AE. +) K là trung điểm của AH nên KE song song AD và hay KE song song và bằng BC 1,0 Do đó: CE: 2x - 8y + 27 = 0. Mà , mặt khác E là trung điểm của HD nên . Khi đó BD: y - 3 = 0, suy ra AH: x + 1 = 0 nên A(-1; 1). Suy ra AB: x - 2y +3=0. Do đó: B(3; 3). KL: A(-1; 1), B(3; 3) và D(-2; 3) Lưu ý:Nếu học không chứng minh mà thừa nhận thì cho 1,0 điểm. 1,0 4 2,0 Đặt Ta có: EMBED 1,0 1,0 5 2,0 Với các số thực dương a, b, c từ giả thiết ta có: Khi đó: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (côsi) ta có: EMBED 1,0 Tương tự: (2); (3) Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được: (đpcm) Dấu đẳng thức xảy ra khi 1,0