tailieunhanh - Bài giảng Toán cao cấp: Phương trình vi phân - Nguyễn Văn Phong

Chương này gồm có những nội dung chủ yếu như sau: Khái niệm chung về phương trình vi phân, định nghĩa phương trình vi phân, phương trình vi phân cấp 1, phương trình vi phân cấp 2. nội dung chi tiết. | PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Nguyễn Văn Phong Toán cao cấp - MS: MAT1006 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 1 / 26 NỘI DUNG 1 KHÁI NIỆM CHUNG 2 ĐỊNH NGHĨA 3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 1 / 26 Một số ví dụ Ví dụ 1. Nghiên cứu về dân số, người ta thấy rằng, tỷ số giữa sự thay đổi dân số theo thời gian được cho như sau: dP = rP, P(0) = P0 , P, P0 > 0 (1) dt trong đó r là tỷ lệ tăng dân hằng năm. Nhân hai vế của (1) cho 1/P, ta được 1 dP =r P dt Tích phân hai vế, ta được (2) ln P = rt + C ⇒ P = e rt+C Mặt khác, với P(0) = e 0+C = P0 , thay vào (3) ta được P(t) = P0 e rt Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) (3) GIẢI TÍCH (4) Toán cao cấp - MS: MAT1006 2 / 26 Một số ví dụ Kết quả ứng dụng 1. Dựa vào (4), nếu dân số thế giới năm 1990 là tỉ và nếu tỉ lệ r = thì dân số thế giới năm 2013 là tỉ 2. Dân số Việt Nam năm 1990 là 63 triệu và tỉ lệ r = 2%, thì dân số Việt Nam năm 2013 là triệu. Ví dụ 2. Năm 1946 Willard Libby, phát hiện rằng trong tế bào của thực vật, động vật, người trong suốt thời gian chúng sống, lượng carbon − 14 phóng xạ không đổi. Nếu chúng chết, lượng carbon − 14 phóng xạ sẽ giảm do sự phân rã hạt nhân. Và sự phân rã này tuân theo môt quy luật cho bởi dQ = −rQ, Q(0) = Q0 (5) dt Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 3 / 26 Một số ví dụ Tương tự như ví dụ 1, ta cũng có kết quả sau Q(t) = Q0 e −rt , với r = (6) Kết quả ứng dụng Các nhà khảo cổ ở Châu phi tìm thấy bộ xương của người tiền sử, với lượng carbon − 14 hiện diện là 10%. Khi đó, áp dụng (6), ta có Q(t) = = Q0 e − Suy ra, t = ln = năm − Qua hai ví dụ trên, ta thấy việt tìm ra các quy luật (Mô hình) có ứng dụng rất mạnh trong thực tế. Đặc biệt là trong lĩnh vực dự báo. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 4 / .