tailieunhanh - Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 3 - Phan Trung Hiếu (2018)

Bài giảng "Toán cao cấp C1 - Chương 3: Đạo hàm và vi phân hàm một biến" cung cấp cho người học các kiến thức: Đạo hàm và vi phân của hàm một biến, đạo hàm và vi phân cấp cao, ứng dụng trong toán học, ứng dụng trong kinh tế. . | 15/10/2018 Chương 3: Đạo hàm và vi phân hàm một biến GV. Phan Trung Hiếu §1. Đạo hàm và vi phân của hàm một biến §1. Đạo hàm và vi phân của hàm một biến §2. Đạo hàm và vi phân cấp cao §3. Ứng dụng trong toán học LOG §4. Ứng dụng trong O kinh tế 2 I. Đạo hàm cấp một: Định nghĩa . Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng mở chứa x0. Đạo hàm (cấp một) của hàm số f(x) tại x0, ký hiệu y ( x0 ) f ( x0 ) , được tính bởi f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x x0 x x0 nếu giới hạn tồn tại hữu hạn. Chú ý . Nếu f ( x0 ) tồn tại thì f(x) được gọi là khả vi tại x0. Ví dụ : Tìm đạo hàm của hàm số ln(1 x2 ) khi x 0 f ( x) x 0 khi x 0 tại x0 0. Định nghĩa (Đạo hàm bên trái) f ( x0 ) lim x x0 f ( x ) f ( x0 ) x x0 Định nghĩa (Đạo hàm bên phải) f ( x0 ) lim x x0 f ( x) f ( x0 ) x x0 3 Định lý : f ( x0 ) L f ( x0 ) f ( x0 ) L Ví dụ : Xét sự khả vi của hàm số x 1, 1 x, f ( x) (1 x)(2 x), x 1 tại x0 1. 5 4 Định lý : f(x) có đạo hàm tại x0 f(x) liên tục tại x0. Ví dụ : Tìm m để hàm số e x ( x 2 x) khi x 0 f ( x) khi x 0 m có đạo hàm tại x0 0. 6 1 15/10/2018 Định nghĩa (Đạo hàm trên khoảng, đoạn): Cho hàm số f(x) xác định trên [a,b]. -Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm trên (a,b) nếu f(x) có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc (a,b). -Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm trên [a,b] nếu f(x) có đạo hàm trên (a,b) và có tại mọi điểm x thuộc (a,b). II. Các công thức và quy tắc tính đạo hàm: . Các công thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2. . Quy tắc tính đạo hàm: Với u u ( x ), v v ( x ), ta có (k .u ) (u v) u v () u .v u u .v v v2 . Đạo hàm của hàm số hợp: Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)]. Khi đó y ( x) u ( x). y u ( x ) 7 8 Ví dụ : Tính đạo hàm của các hàm số sau III. Vi phân cấp một: a) y arctan x Vi phân (cấp một) của hàm số f(x) là b) y (arcsin x ) 2 df ( x) f ( x) dx hay c)