tailieunhanh - Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán năm học 2012- 2013

Các em có thể tham khảo "Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán năm học 2012- 2013" này để luyện tập những kỹ năng làm bài, rèn luyện kiến thức tiếng Toán để chuẩn bị thật tốt cho các kì thi môn Toán sắp tới. | THI CHỌN HS GIỎI CẤP TRƯỜNG NH 2012-2013 Môn: TOÁN - Lớp 11 Ngày thi: 31/01/2013 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) TRƯỜNG THPT KON TUM ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ BÀI Câu 1. ( điểm) x 2 y 2 2 Giải hệ phương trình sau x3 2 y 3 2 x y 0 . Câu 2. ( điểm) 1. Chứng minh rằng với mọi số thực m , phương trình: x3 m 2 3 x 2 m 2 3 x 1 0 luôn có ba nghiệm lập thành một cấp số nhân. 2. Trong mặt phẳng Oxy xét phép biến hình f biến mỗi điểm M x; y thành điểm M ' 2 x 1; 2 y 3 . Chứng minh f là phép đồng dạng. Câu 3. ( điểm) 2 Đặt f n n 2 n 1 1 . Xét dãy số un sao cho un f 1 . f 3 . f 5 . f 2n 1 , n * . Tính lim n un . f 2 . f 4 . f 6 . f 2n Câu 4. ( điểm) Tìm tất cả các đa thức P x có hệ số thực sao cho: P 2 12 và P x 2 x 2 x 2 1 P x với mọi x . Câu 5. ( điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a3 a 2 b2 b3 b2 c 2 c3 c 2 a2 . Câu 6. ( điểm) Cho hình chóp có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi N, P lần lượt là trung điểm của SB và AD. Gọi I là trung điểm của NP và G là giao điểm của SI với mp(ABCD). Tính tỷ số IS . IG ----------- HẾT ----------- ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu Nội dung Ý 1 Điểm Ta có: x3 2 y3 2 x y 0 2 x3 4 y3 2 2 x y 0 2 x3 4 y3 x 2 y 2 2 x y 0 2 x3 4 y3 2 x3 x 2 y 2 xy 2 y3 0 4 x3 x2 y 2 xy 2 5 y 3 0 x y 4 x 2 3 xy 5 y 2 0 x y Thay x y vào PT x 2 y 2 2 ta được y 1 . Vậy hệ có hai nghiệm 1; 1 , 1;1 . 2 1 PT đã cho tương đương x3 1 m2 3 x x 1 0 x 1 x 1 x 2 m2 2 x 1 0 2 2 x m 2 x 1 1 PT (1) có m 4 4m 2 0 và PT (1) có hai nghiệm x1;