tailieunhanh - Định lí kiểu Bernstein trong R42 với định thức Jacobi bị chặn

Trong bài báo này, chúng tôi phát biểu và chứng minh một định lí kiểu Bernstein cho mặt cực đại 2-chiều trong không gian Minkowski R 4 2 với điều kiện hàm số xác định mặt có định thức Jacobi bị chặn. | Nguyen Le Tram/ Định lí kiểu Bernstein trong R42 với định thức Jacobi bị chặn ĐỊNH LÍ KIỂU BERNSTEIN TRONG R42 VỚI ĐỊNH THỨC JACOBI BỊ CHẶN Nguyen Le Tram Khoa Khoa học tự nhiên, Trường Đại học Quảng Bình Ngày nhận bài 23/12/2016, ngày nhận đăng 26/6/2017 Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi phát biểu và chứng minh một định lí kiểu Bernstein cho mặt cực đại 2-chiều trong không gian Minkowski R42 với điều kiện hàm số xác định mặt có định thức Jacobi bị chặn. 1 Mở đầu Mặt cực tiểu [11] được giới thiệu lần đầu bởi Lagrange năm 1762, đó là đồ thị của các hàm trơn xác định trong một miền mở, liên thông trên R2 thỏa mãn phương trình (1 + fy2 )fxx − 2fx fy fxy + (1 + fx2 )fyy = 0. (1) Sau đó mặt cực tiểu được một số nhà toán học quan tâm nghiên cứu, trong đó đáng chú ý nhất là công trình của . Định lí (S. Bernstein [11] ). Cho f là nghiệm của (1), nếu f xác định trên toàn R2 thì đồ thị của f là mặt phẳng. Định lí này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, việc mở rộng định lí cho các siêu mặt cực tiểu [11] trong các không gian với số chiều lớn hơn được nghiên cứu rất nhiều trong thập niên 60 của thế kỉ XX, tiêu biểu là Federer, Fleming, de Giogi, Almgren và Simon. Tổng hợp các kết quả này ta được: nếu f : Rn −→ R là nghiệm của phương trình siêu mặt cực tiểu trong Rn+1 thì f là hàm affine khi n ≤ 7, còn với n > 7 thì định lí không còn đúng. Với mong muốn phát biểu một định lí tương tự đúng với mọi n, nhiều nhà toán học đưa ra các định lí kiểu Bernstein với hàm số f thỏa mãn một số điều kiện cụ thể. Định lí (J. Moser [9]). Cho z = f (x1 , x2 , ., xn ) xác định trên Rn có đồ thị là một siêu mặt cực tiểu trong Rn+1 . Nếu | 5 f | ≤ β 0, hoặc x = 0; 81 Nguyen Le Tram/ Định lí kiểu Bernstein trong R42 với định thức Jacobi bị chặn • vectơ kiểu thời gian (timelike) nếu hx, xik 0, nên theo định lí về chỉ số của dạng toàn phương và (2) ta có aj 0, G > 0, hơn nữa, ∀(a, b) 6= (0, 0) ta có haX1 + bX2 , aX1 + bX2 in−2 > 0 ⇔ a2 E + 2abF + b2 G >