tailieunhanh - Toán cao cấp 2- Bài 6: Ánh xạ tuyến tính và Ma trận

Nắm được khái niệm về ánh xạ tuyến tính. Nắm được khái niệm về hạt nhân và ảnh. Nắm được khái niệm về hạng của ánh xạ tuyến tính. Khái niệm về ma trận của ánh xạ tuyến tính. Giải được các bài toán về ánh xạ tuyến tính, hạt nhân và ảnh, hạng của ánh xạ | Bài 6 Ánh xạ tuyến tính và Ma trận Bài 6 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN Mục tiêu Nội dung Nắm được khái niệm về ánh xạ tuyến tính Nắm được khái niệm về hạt nhân và ảnh Nắm được khái niệm về hạng của ánh xạ tuyến tính Khái niệm về ma trận của ánh xạ tuyến tính. Giải được các bài toán về ánh xạ tuyến tính hạt nhân và ảnh hạng của ánh xạ Ánh xạ tuyến tính giúp ta hiểu được những yếu tố quyết định dẫn đên cấu trúc của không gian véc tơ. Bài 6 bao gồm bốn nội dung chính Khái niệm chung Các tính chất của ánh xạ tuyến tính -Hạt nhân và ảnh Hạng của ánh xạ tuyến tính - định lí về số chiều Ma trận của ánh xạ tuyến tính Thời lượng Bạn đọc nên để 15 giờ để nghiên cứu LT 8 giờ làm bài tập. 77 T PJCA cử NHÂN TRỰC TUYẾN UY TÍN QUỐC TẾ Bài 6 Ánh xạ tuyến tính và Ma trận Bài toán mở đầu Mô hình cân đối liên ngành dạng ma trận Ký hiệu A là ma trận chi phí X là véc tơ tổng sản phẩm các ngành Y là véc tơ các sản phẩm cuối cùng E là ma trận đơn vị ta có hệ thức E - A X Y Ta có một ánh xạ tuyến tính từ X vào Y diễn tả bởi ma trận E - A . Khái niệm chung . Khái niệm ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Cho V W là hai không gian véc tơ. Ánh xạ f V W gọi là ánh xạ tuyến tính nếu nó có hai tính chất sau 1 f u v f u f v Vu v e V 2 f au af u Va e R Vu e V. Từ điều kiện 2 ta có f e f oe 0 f e e Vậy ánh xạ tuyến tính chuyển véc tơ không thành véc tơ không. Kết hợp các điều kiện 1 và 2 ta có f ax ay af x af y Vx y e V a p e K. Một cách tổng quát quy nạp ta có . _ . . f Zaixi aif xi Vxi e V ai e R i 1 2 . n i 1 i 1 Hệ thức chứng tỏ rằng ánh xạ tuyến tính chuyển một hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính thành một hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính . Nếu ánh xạ tuyến tính là một đơn ánh thì gọi là đơn cấu Nếu ánh xạ tuyến tính là một toàn ánh thì gọi là toàn cấu Nếu ánh xạ tuyến tính là một song ánh thì gọi là đẳng cấu. Khi có một đẳng cấu f V V thì ta nói hai không gian véc tơ V và V đẳng cấu với nhau và ký hiệu V V . Ví dụ 1 Cho ánh xạ f R3 R3 xác định bởi f x y z x 2y 3z 4x 5y 6z 7x 8y 9z . Chứng minh f