tailieunhanh - Giáo trình đa thức và nhân tử hóa: Phần 2

Trong phần 2 của cuốn giáo trình đa thức và nhân tử hóa là phần hướng dẫn, giải đáp bài tập đã nêu ở phần 1. Một số đề tài được hướng dẫn, giải đáp; tuy nhiên, đối với phần nhiều bài tập việc giải và triển khai chi tiết thường được để dành cho độc giả. Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, . | PHẦN HƯỚNG DẪN, GIẢI ĐÁP BÀI TẬP 105 106 HƯỚNG DẪN, GIẢI ĐÁP BÀI TẬP Chương I 1. Cấu trúc vành của đa thức theo một biến. Vành con các đa thức theo một biến của một vành. – (1) Đặt B = {m + n 2 m, n Z} R. Một mặt B Z| 2 |. Mặt khác, B là vành con của R chứa Z và 2 nên [ 2 ] B 1. 1 – (2) Đặt B = m n3 2 m, n Z R. Hiển nhiên B Z 3 2. Vì u 3 2 B nên u 2 3 4 Z 3 2 nhưng u 2 B . Thật vậy, từ 2 m, n Z u m nu , ta có 2 = u3 = (m + nu)u = mn + (m + n2)u tương đương với hệ phương trình mn = 2 m + n2 = 0 vô nghiệm trên Z. 1. 1 – (3) Với u 2 3 2 , người ta có đa thức 1 + 36u + 12u2 + 6u3 – 6u4 + u6 = 0 1. 2. Nhúng một vành vào vành đa thức theo một biến siêu việt 1. 2 – (1) Với f , g , h A ( N ) , ta có [ f ( g h)](i ) f ( j )( g h)(k ) f ( j ) g (k ) j k 1 j k 1 f ( j )( g (k ) h(k )) j k 1 f ( j)h(k ) ( fg )(i) fh(i) j k 1 = ( fg fh)(i ) Do đó F(g + h) = fg + fh. Đẳng thức (g + h)f = gf + hf được chứng minh tương tự. 107 Tính chất phổ dụng của vành đa thức A[x]. – (1) Đồng cấu hao hàm j : Z → R mở rộng được thành một đồng cấu vành j : Z[x] R sao cho ‘x = ‘. Vì Im’ j = Z[ 2 ] = {m + n 2 m|m, n Z}, (xem § Bài tập (1)) và Ker j = {(x2 – 2)g | g Z[x] = (x2 – 2)} iđêan của vành Z[x] gồm các bội của đa thức x2 – 2 Z[x]. Định lý cơ bản cho đẳng cấu Z[x] | (x2 – 2) Z[ 2 ] – (2) Đồng cấu bao hàm j : K→ K[x] có Im j = K. Vì K là vành giao hoán, ag = ga với mọi a K và mọi g K[x] nên theo tính chất phổ dụng, tồn tại đồng cấu vành duy nhất Eg : K[x] → K[x] sao cho Eg(a) = a với mọi a K và Eg(x) = g Với mọi đa thức f = n i 0 aixi K[x], n Eg(f) = n Eg(ai)Eg(x) = i 0 ai g i i 0 nghĩa là Eg(f) K[x] thu được bằng cách thay trong f biến x bởi g. ii) Cho a K, theo trên có tự đồng cấu Ea + x của vành K[x] và cũng có tự đồng cấu Ea + x của K[x] sao cho (Ea + x ° Ea+ x (f) = (Ea + x ° Ea + x)(f) = f. Vậy Ea + x là mộ tự đẳng