tailieunhanh - Tổng Ramanujan và mối liên hệ giữa các hàm số số học
Bài viết Tổng Ramanujan và mối liên hệ giữa các hàm số số học trình bày: Sử dụng Tổng Ramanujan để nghiên cứu về các mối quan hệ giữa các hàm số số học. Từ các kết quả này, chúng ta có thể sử dụng tích phân phức để xấp xỉ các giá trị trung bình của một vài hàm số số học bởi các hàm sơ cấp,. . | TỔNG RAMANUJAN VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC HÀM SỐ SỐ HỌC VĂN NAM Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng Tổng Ramanujan để nghiên cứu về các mối quan hệ giữa các hàm số số học. Từ các kết quả này, chúng ta có thể sử dụng tích phân phức để xấp xỉ các giá trị trung bình của một vài hàm số số học bởi các hàm sơ cấp. 1 GIỚI THIỆU Việc xấp xỉ giá trị trung bình của các hàm số học với các hàm sơ cấp có thể thực hiện bằng phương pháp sơ cấp (xem [2]), với một số kết quả như sau: khi x → ∞, X τ (n) = xlnx + O(x), n≤x X 3 ϕ(n) = 2 x2 + O(xlnx). π n≤x Trong bài báo này, thông qua tổng Ramanujan, chúng tôi sẽ trình bày các mối liên hệ giữa các hàm số học. Từ các mối liên hệ này, cho phép chúng ta xấp xỉ giá trị trung bình của các hàm số học với các hàm sơ cấp bằng phương pháp tính tích phân phức. Đặt Gn là nhóm các căn bậc n của đơn vị, và Pn là tập các căn nguyên thủy bậc n của đơn vị, tức là tập các phần tử sinh của trường chia đường tròn Rn (Q) trên Q. Xét n ∈ N∗ và k ∈ Z. Khi đó tổng Ramanujan(xem [4]) được định nghĩa như sau X Cn (k) = ηk . η∈Pn Rõ ràng Cn (0) = ϕ(n) và Cn (1) = µ(n), vì −Cn (1) là hệ tử bậc ϕ(n) − 1 của đa thức chia đường tròn bậc n (xem [1]). Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế. ISSN 1859-1612, Số 02(18)/2011: tr. 14-19 TỔNG RAMANUJAN VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC HÀM SỐ HỌC 15 Xét tổng Rn (x) = Cn (0) + Cn (1)x + · · · + Cn (n − 1)xn−1 ; khi đó rõ ràng n−1 X Rn (0) = Cn (0) = ϕ(n) và Rn (1) = Cn (k) = 0. k=0 Ngoài ra, với n, k ∈ Z, ta ký hiệu 1, nếu n là ước của k; δn|k = 0, nếu n không là ước của k. Ký hiệu ϕ(n) là hàm Euler, µ(n) là hàm M¨obius, τa (n) là số nghiệm của phương trình x1 . . . xa = n (x1 , . . . , xa chạy qua tất cả các số nguyên dương một cách độc lập, đặc biệt τ2 (n) = τ (n) là hàm số các ước của n), σs (n) là hàm tổng các lũy thừa s của các ước của n. Và ký hiệu ∞ X 1 , ζ(s) = ns n=1 trong đó s là số phức với phần thực R(s) = σ > 1, là hàm Zeta-Riemann. Hàm .
đang nạp các trang xem trước
