tailieunhanh - Bất đẳng thức Gagliardo - Nirenberg cho không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõm

Bài viết Bất đẳng thức Gagliardo - Nirenberg cho không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõm trình bày: Tìm bất đẳng thức Gagliardo - Niren- berg và một số bất đẳng thức đối với các đạo hàm suy rộng của hàm cho không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõm,. . | BẤT ĐẲNG THỨC GAGLIARDO - NIRENBERG CHO KHÔNG GIAN CÓ CHUẨN SINH BỞI HÀM LÕM TRƯƠNG VĂN THƯƠNG Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Trong bài này chúng tôi tìm bất đẳng thức Gagliardo - Nirenberg và một số bất đẳng thức đối với các đạo hàm suy rộng của hàm cho không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõm. 1 GIỚI THIỆU Bất đẳng thức đối với các đạo hàm suy rộng trong trường hợp một chiều đã được G. E. Shilov, A. N. Kolmogorov, H. H. Bang [2]và nhiều nhà toán học khác nghiên cứu và ứng dụng nó. Trường hợp nhiều chiều, bất đẳng thức đối vơí các đạo hàm được rất nhiều nhà toán học quan tâm nhưng kết quả nhận được còn rất hạn chế. Bất đẳng thức Gagliardo - Nirenberg đã được [1] chứng minh cho các không gian Lp (Rn ), [3] chứng minh cho các không gian Orlicz (không gian có chuẩn sinh bởi hàm lồi [7]) và [6] chứng minh cho không gian có chuẩn sinh bởi hàm Young có dạng Ms,k (t) = ts (ln(2 + t))k . Trong đề tài này chúng tôi tìm bất đẳng thức Gagliardo Nirenberg và một số bất đẳng thức đối với các đạo hàm suy rộng cho không gian NΦ (Rn+ ), không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõm được giới thiệu bởi M. S. Steigerwalt và A. J. White [8]. 2 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Giả sử S ⊂ Rn , B là σ− đại số sinh bởi các tập Borel trên S và µ là độ đo Lebesgue trên B và Φ : [0, +∞) −→ [0, +∞) là hàm lõm, không giảm thoả mãn Φ(0) = Φ(0+ ) = 0, Φ(t) 6≡ 0; kí hiệu C là tập hợp tất cả các Zhàm Φ. Kí hiệu NΦ (S) ∞ là tập hợp gồm các hàm đo được trên S thoả mãn điều kiện Φ(λf (t))dt t}, (t ≥ 0). 0 Khi đó (NΦ (S), ) là một không gian Banach (xem [8]). Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 02(18)/2011: tr. 5-13 6 TRƯƠNG VĂN THƯƠNG Và MΦ (S) là tập hợp xác định như sau MΦ (S) := {f − đo được : kf kMΦ 1 = sup{ Φ(µ(E)) Z |f |dµ : µ(E) 0 tùy ý. Theo Bổ đề ta chọn hàm hε ∈ MΦ (Rn+ ) sao cho khε kMΦ(Rn ) ≤ 1 và + ¯Z ¯ ¯ ¯ ε ¯ D f (x)hε (x)dx¯ > kDα f kNΦ (Rn+ ) − . 2 Rn + α n Theo Bổ đề suy ra Dα ∈ L1 (Rn+ ), do đó tồn tại hình hộp K = π .