tailieunhanh - Vi phân ngẫu nhiên đối với lớp quá trình Itô – Levy

Đề tài tiếp tục phát triển theo các kết quả đã được công bố trước đây để thu được công thức về vi phân tích của quá trình ngẫu nhiên có nhảy và áp dụng cho một số dạng quá trình đặc biệt như quá trình thuần nhảy, quá trình Levy – Ornstein – Uhlenbeck, quá trình Levy hình học. | Science & Technology Development, Vol 19, Vi phân ngẫu nhiên đối với lớp quá trình Itô – Levy Dương Tôn Đảm Trường Đại học Công nghệ Thông tin, ĐHQG-HCM Nguyễn Ngọc Phụng Trường Đại học Ngân hàng TP. Hồ Chí Minh (Bài nhận ngày 09 tháng 11 năm 2015, nhận đăng ngày 06 tháng 05 năm 2016) TÓM TẮT Khi mở rộng khái niệm về quá trình ngẫu nhiên liên tục, người ta thường xét đến lớp quá trình ngẫu nhiên có nhảy và sử dụng công cụ về vi – tích phân Itô – Levy, từ đó có thể thu được nhiều kết quả quan trọng về mặt lý thuyết và thực hành. Trong bài báo này chúng tôi tiếp tục phát triển theo các kết quả đã được công bố trước đây để thu được công thức về vi phân tích của quá trình ngẫu nhiên có nhảy và áp dụng cho một số dạng quá trình đặc biệt như quá trình thuần nhảy, quá trình Levy – Ornstein – Uhlenbeck, quá trình Levy hình học. Từ khóa: quá trình Itô – Levy, vi phân ngẫu nhiên, quá trình ngẫu nhiên có nhảy MỞ ĐẦU Khái niệm về quá trình ngẫu nhiên Itô – Levy Cho ξ(t) là một quá trình Levy, và bước nhảy của ξ(t) tại thời điểm t là đại lượng xác định bởi: ∆ξ(t) ≔ ξ(t) − ξ(t ) Với ℬ (R ) là σ −đại số sinh bởi các tập con Borel U thuộc R, sao cho U ∈ ℬ (R ); R ≔ R\{0}, xác định độ đo nhảy Poisson: N(t, U) ≔ χ ∆ξ(t) trong đó χ (. ) là hàm chỉ tiêu của U (indicator function). Khi đó N(t, U) chính là số các bước nhảy có độ lớn ∆ξ(t) ∈ U ; ∀s: 0 0 , ∈ R . trong đó B(s) là quá trình Wiener tiêu chuẩn, và độ đo Poisson bù N(ds, dx) (compensated Poisson random measure), xác định bởi: N(ds, dx) ≔ N(dt, dx) − ν(dx)dt ; ν(dx) ≔ E[N(1, dx)] ; dx ∈ ℬ (R ); (ν(dx) thường được gọi là độ đo Levy), và thỏa điều kiện : ∫ [|α(x)| + β (x) + ∫ ( , ) ( )] < ∞ ; ℎ. . Dạng biểu diễn (1) sẽ tương đương với dạng biểu diễn vi phân sau: dX(t) = α(t)dt + β(t)dB(t) + γ(t, x) N(dt, dx). ∫ Nếu β(x) ≡ 0, gọi X(t) là quá trình Itô – Levy dạng thuần nhảy. Định nghĩa. Quá trình ngẫu nhiên Itô – Levy X(t, ω) = X(t), là quá trình: Quá trình ngẫu nhiên Itô – Levy nhiều chiều được .