tailieunhanh - Đề thi Olympic Toán sinh viên học sinh năm 2016 môn Giải tích

Đề thi Olympic Toán sinh viên học sinh năm 2016 môn Giải tích sau đây nhằm giúp các bạn củng cố kiến thức của mình và thầy cô có thêm kinh nghiệm trong việc ra đề thi. Chúc các bạn thành công và đạt điểm cao. | HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN HỌC SINH NĂM 2016 Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Bảng B Bài . Cho (un )∞ là dãy số được xác đinh bởi các điều kiện n=1 u1 = a, un+1 = un + (un − 2016)2 ∀n ≥ 1. 1. Tìm tất cả các giá trị thực của a để dãy số (un )∞ hội tụ. n=1 2. Tìm giới hạn của dãy số đó khi nó hội tụ. Bài . Cho α là một số thực và f : [0, 1] → R là hàm số được xác định bởi công thức 1 x xα sin 0 f (x) = nếu x = 0, nếu x = 0. Chứng minh các khẳng định sau: 1. f liên tục nếu và chỉ nếu α > 0. 2. f khả vi nếu và chỉ nếu α > 1. 3. f khả vi liên tục nếu và chỉ nếu α > 2. Bài . Cho a ≥ 1 là một số thực và f : R → R là một hàm số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện • (f (ax))2 ≤ a3 x2 f (x) với mọi số thực x; • f bị chặn trên trong khoảng (−1, 1). Chứng minh rằng |f (x)| ≤ x2 a với mọi số thực x. Bài . Giả sử f : R → R là một hàm số khả vi liên tục hai lần và thỏa mãn điều kiện f (x) lim |x|→+∞ x = 0. Chứng minh rằng phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm. Bài . Cho f : (1, ∞) → R là hàm được xác định bởi công thức x f (x) = √ dt x ln t Hãy tìm tập tất cả các giá trị của f . HẾT Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. (∀x > .