tailieunhanh - Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Cần Thơ

"Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Cần Thơ" với nội dung xoay quanh các chủ đề: Số nguyên, giải hệ phương trình, chu vi tứ giác, số nguyên dương,. Mời các em tham khảo để tích lũy kiến thức, nắm vững lý thuyết và công thức để áp dụng đúng vào từng bài thi. | SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP THÀNH PHỐ - NĂM HỌC 2012-2013 KHÓA NGÀY: 16/10/2012 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (4 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực R x+y+z =0 x3 + y 3 + z 3 = 48 7 x + y 7 + z 7 = 16128 Câu 2 (4 điểm) Cho dãy số nguyên (un ) được xác định như sau: u1 = 1 ; u2 = 2 un = 4un−1 − un−2 , ∀n ≥ 3, n ∈ N a) Chứng minh rằng u2 + u2 − 4un un−1 = −3 với n ≥ 2, n ∈ N n n−1 b) Chứng minh rằng u2 − 1 n là số chính phương với mọi n, n ∈ N∗ . 3 Câu 3 (4 điểm) Cho nửa đường tròn (T ) tâm O, đường kính AB = 2R và điểm P di động trên (T ) (P khác A và B). Gọi (O1 ) và (O2 ) là hai đường tròn nhận OP làm tiếp tuyến chung, đồng thời (O1 ) tiếp xúc với (T ) và OA theo thứ tự là M, N, (O2 ) tiếp xúc với (T ) và OB theo thứ tự tại H, L. a) Chứng minh rằng khi P di động trên (T ) thì các đường thẳng M N và HL luôn cùng đi qua một điểm cố định K. b) Gọi C, D theo thứ tự là giao điểm thứ hai của (O1 ) với M A và M B, E là giao điểm của CN với BK và F là giao điểm của DN với AK. Chứng minh rằng khi P di động trên (T ), ta √ luôn có bất đẳng thức p > R(3 + 2), trong đó p là chu vi tứ giác ABEF . Câu 4 (4 điểm) Cho dãy 2013 số nguyên dương a1 , a2 , a3 , . . . a2013 thỏa mãn mỗi số không lớn hơn 4026 và với hai số bất kì thì bội số chung nhỏ nhất của hai số ấy luôn lớn hơn 4026. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số đã cho đều lớn hơn 1342. Câu 5 (4 điểm) Trong một bảng ô vuông có 10 × 10 ô được điền ở tất cả các ô là dấu “+”. Một bước thực hiện bằng cách đổi toàn bộ những dấu ở một hàng hoặc một cột nào đó sang dấu ngược lại. Có khả năng hay không sau hữu hạn bước như trên, bảng ô vuông nhận được có đúng 6 dấu “-” ? Hãy chứng minh khẳng định của mình. ——HẾT—— Ghi chú: Giám thi coi thi không giải thích gì thêm. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP THÀNH PHỐ - NĂM HỌC 2012-2013 KHÓA .