tailieunhanh - Một số kỹ thuật giải phương trình hàm

Mời các bạn cùng tìm hiểu phương pháp thế biến; phương trình hàm cauchy; phương pháp quy nạp;. được trình bày cụ thể trong tài liệu "Một số kỹ thuật giải phương trình hàm". Mời các bạn cùng tìm hiểu để nắm bắt nội dung thông tin tài liệu. | MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI 1 Phương pháp thế biến Phương pháp thế biến có lẽ là phương pháp được sử dụng nhiều nhất khi giải phương trình hàm. Ta có thể Hoặc cho các biến X y . nhận các giá tri bằng số. Thường các giá tri đặc biệt là 0 1 2 . Hoặc thế các biến bằng các biểu thức để làm xuất hiện các hằng số hoặc các biểu thức cần thiết. Chẳng hạn nếu trong phương trình hàm có mặt f x y mà muốn có f 0 thì ta thế y bởi x muốn có f x thì cho y 0 muốn có f nx thì thế y bởi n 1 x. Ví dụ . Áo 199 Tìm tất cả các hàm số f R R thỏa mãn điều kiện x2f x f 1 x 2x x4 8x 2 R. Giải Thay x bởi 1 x ta được 1 x 2f 1 x f x 2 1 x 1 x 4 8x 2 R. Nhu vậy ta có hệ x2f x f 1 x 2x x4 f x 1 x 2f 1 x 2 1 x 1 x 4 . Ta có D x2 x 1 x2 x 1 và Dx 1 x2 x2 x 1 x2 x 1 . Vậy x DX 8x 2 R. Từ đó ta có nghiệm của bài toán là 1 x2 x a x b f x c 2 R x a c là hằng số tùy ý 2a a4 a2c x b với a b là nghiệm của phương trình x2 x 1 0. Nhận xét Bài toán trên được dùng một lần nữa trong kỳ thi VMO 2000 bảng B. Ví dụ . Tìm tất cả các hàm số f R R thỏa mãn điều kiện f x y f x - y 2f x cos y 8x y 2 R Hint 1. Thế y 2 2. Thế y y 2 hoặc thế x 2 3. Thế x 0 Đáp số f x a cos x b sin x a b 2 R Ví dụ . f R R thỏa mãn điều kiện f xy x y f xy f x f y x y 2 R. Chứng minh rằng f x y f x f y 8x y 2 R. 1 PHƯƠNG PHÁP THẾ BIẾN Hint 1. Tính f 0 2. Thế y 1 chứng minh f là hàm lẻ 3. Thế y 1 f 2x 1 2f x 1 4. Tính f 2 u v uv 1 theo 3 và theo giả thiết để suy ra f 2uv u 2f uv f u 5. Cho v 2 u x và u y 2uv x để suy ra điều phải chứng minh Ví dụ . Tìm tất cả các hàm số f R R đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau f x xf 8x 0 f x f y 1 f x y 8x y 2 R x y 0 0 x y 0 Hint 1. Tính f 0 f -1 O I fyih 7 I 1 Trrji n 1 f x 1A f T I 1 1 A T1P1 fiioii 2. -L ÍHH X I 1 voi a f 1 f t I 1 ft x I 1 I I theo cả hai Tivh .kiệh. J 7 J x 1 J x 1 Đáp số f x x 1 Nhận xét Thủ thuật này áp dụng cho một lớp các bài toán gần tuyến tính Ví dụ . Tìm tất cả các hàm số f R R thỏa f 1 2 và f xy f x f 3 f y f íỊ yx 8x y 2 R Hint 1. Tính f 3 2. Thế y 3 Đáp số f x