tailieunhanh - Tích phân hàm một biến

* Để tính tích phân của hàm lượng giác và vô tỉ, ta tìm cách đổi biến số để đưa chúng về tích phân của các phân thức hữu tỉ. * Để tính tích phân của hàm lượng giác và vô tỉ, ta tìm cách đổi biến số để đưa chúng về tích phân của các phân thức hữu tỉ. | TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Chương 3: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN §1. Tích phân bất định §2. Tích phân xác định §3. Tích phân suy rộng §4. Ứng dụng tích phân xác định §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH I. NGUYÊN HÀM 1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a, b). Nếu tồn tại hàm số F(x) thoả mãn F’(x) = f(x), x (a, b), thì F(x) gọi là nguyên hàm của f(x) trong (a, b), nếu có thêm F’( a + 0 ) = f(a) , F’(b – 0 ) = f(b) thì ta nói F(x) là nguyên hàm của hàm f(x) trên đoạn [a, b]. Ví dụ : * F(x) = sinx + 3 là nguyên hàm của f(x) = cosx, x R. Vì F’(x) = (sinx + 3 )’ = cosx. 2. Các định lí về nguyên hàm: Định lí 1: Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] thì nó có nguyên hàm trên [a, b]. Định lí 2: * Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a, b] thì F(x) + C, với C là hằng số tuỳ ý, cũng là nguyên hàm f(x) trên [a, b]. * Nếu F(x), G(x) là hai nguyên hàm nào đó của f(x) trên [a, b] thì C R sao cho: G(x) = F(x) + C, x [a, b]. Hay nói cách khác mọi nguyên hàm có dạng F(x) + C đó của f(x). của f(x) đều . | TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Chương 3: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN §1. Tích phân bất định §2. Tích phân xác định §3. Tích phân suy rộng §4. Ứng dụng tích phân xác định §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH I. NGUYÊN HÀM 1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a, b). Nếu tồn tại hàm số F(x) thoả mãn F’(x) = f(x), x (a, b), thì F(x) gọi là nguyên hàm của f(x) trong (a, b), nếu có thêm F’( a + 0 ) = f(a) , F’(b – 0 ) = f(b) thì ta nói F(x) là nguyên hàm của hàm f(x) trên đoạn [a, b]. Ví dụ : * F(x) = sinx + 3 là nguyên hàm của f(x) = cosx, x R. Vì F’(x) = (sinx + 3 )’ = cosx. 2. Các định lí về nguyên hàm: Định lí 1: Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] thì nó có nguyên hàm trên [a, b]. Định lí 2: * Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a, b] thì F(x) + C, với C là hằng số tuỳ ý, cũng là nguyên hàm f(x) trên [a, b]. * Nếu F(x), G(x) là hai nguyên hàm nào đó của f(x) trên [a, b] thì C R sao cho: G(x) = F(x) + C, x [a, b]. Hay nói cách khác mọi nguyên hàm có dạng F(x) + C đó của f(x). của f(x) đều với F(x) là một nguyên hàm nào II. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trong (a, b) hay trên [a, b] thì biểu thức thức F(x) + C, C là hằng số tuỳ ý , được gọi là tích phân bất định của f(x) trong (a, b) hay trên [a, b]. Kí hiệu * Dấu được gọi là dấu tích phân. * f(x) gọi là hàm dưới dấu tích phân. * f(x)dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân. * x gọi là biến số tích phân. III. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH (Giáo trình) IV. BẢNG TÍCH PHÂN CÁC HS THƯỜNG GẶP: (Giáo trình) V. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN pháp đổi biến số: a) Đổi biến dạng u = u(x): Định lí: Nếu u = u(x) có đạo hàm liên tục đối với x ( a, b) và có f(x)dx = g(u)du thì trong (a, b) ta có : Ví dụ: Tính các tích phân sau đây: b) Biến đổi dạng x = (t) Định lí: Giả sử f(x) là hàm liên tục đối với x trên [a, b] và x = (t) là hàm số khả vi, đơn điệu đối với t trên [ , ] và lấy giá trị trên [a, b]. Khi đó ta có : Ví dụ: Tính Hướng dẫn: Đặt x = sint với 2. Phương pháp tích phân từng phần Giả sử u