tailieunhanh - Lời giải các bài toán hình học phẳng thi chọn đội tuyển quốc gia

Gửi đến các bạn tài liệu Lời giải các bài toán hình học phẳng thi chọn đội tuyển Quốc gia. Hi vọng tài liệu sẽ cung cấp cho các bạn những kiến thức bổ ích trong quá trình ôn tập nâng cao kiến thức trước khi bước vào kì thi học sinh giỏi sắp tơi. | LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA ************ Bài 1: Hai đường tròn (C1) và (C2) cắt nhau tại hai điểm P và Q. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn gần P hơn Q tiếp xúc với (C1) tại A và tiếp xúc với (C2) tại B. Các tiếp tuyến của (C1), (C2) kẻ từ P cắt đường tròn kia lần lượt tại E và F, (E, F khác P). Gọi H, K lần lượt là các điểm nằm trên các đường thẳng AF, BE sao cho AH = AP và BK = BP. Chứng minh rằng năm điểm A, H, Q, K, B cùng thuộc một đường tròn. (Đề TST 2000) Lời giải. Gọi H’ là giao điểm của PB và AE. A Ta sẽ chứng minh H H ' . Thật vậy: B P Do PE là tiếp tuyến của (C2) nên H EPQ PBQ ( cùng chắn cung PQ ). Mặt khác: K EAQ EBQ (góc nội tiếp cùng chắn cung EQ của đường tròn (C1)). E F Q Do đó: EAQ PBQ QAH ' QBH ' . Suy ra tứ giác ABQH’ nội tiếp. Từ đó ta có: . AH ' B AQP Ta lại có: PQA PQB PAB PBA AQB 1800 ' APB APH Kết hợp các điều trên, ta được : ' hay tam giác APH cân tại H’ AH ' P APH AP AH ' H H ' . Từ đây ta được tứ giác AHQB là tứ giác nội tiếp. Hoàn toàn tương tự : tứ giác AQKB cũng nội tiếp. Vậy 5 điểm A, B, Q, H, K cùng thuộc một đường tròn. Ta có đpcm. 1 Bài 2: Trên các cạnh của ABC lấy các điểm M1, N1, P1 sao cho các đoạn MM1, NN1, PP1 chia đôi chu vi tam giác, trong đó M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn BC, CA, AB. Chứng minh rằng: 1. Các đường thẳng MM1, NN1, PP1 đồng quy tại một điểm. Gọi điểm đó là K. 1 KA KB KC 2. Trong các tỉ số , , có ít nhất một tỉ số không nhỏ hơn . BC CA AB 3 (Đề TST 2003) Lời giải. 1. Nếu ABC đều thì các điểm M1, N1, P1 lần lượt trùng với các đỉnh A, B, C của ABC nên rõ ràng các đoạn MM1, NN1, PP1 đồng quy. Xét trường hợp ABC không đều, khi đó có hai A cạnh của tam giác không bằng nhau, giả sử : AB AC . Khi đó, do MM1 chia đôi chu vi M1 ABC nên M1 phải nằm trên cạnh AC và : AB AM 1 CM 1 AB AC 2CM 1 P K P 1 B N 1 D M CM 1 AB AC AC 2 AC Mặt khác , gọi AD là phân giác