tailieunhanh - Phương tích

Tài liệu về Phương tích được biên soạn với các nội dung: Tóm tắt lý thuyết, ví dụ, bài tập. Để nắm vững nội dung chi tiết tài liệu. Hi vọng tài liệu sẽ là nguồn tư liệu tham khảo bổ ích cho các bạn. | PHƯƠNG TÍCH VÕ QUANG MẪN Tháng 11 năm 2011 1 Tóm tắt lý thuyết Phương tích của một điểm đối với đường tròn Định lý . Cho đường tròn (O, R) và một điểm M trên mặt phẳng cách O một khoảng bằng d. Từ M kẻ cát tuyến MAB tới (O). Khi đó M B = d2 − R2 (1) Định nghĩa . Ta gọi đại lượng d2 − R2 là phương tích của điểm M đối với (O), kí hiệu là PM |(O) = d2 − R2 +Nhận xét . Nếu PM/(O) > 0thì M nằm ngoài (O), PM/(O) = 0 thì M nằm trên biên (O), PM/(O) c. Khi đó, phương tích của điểm M (xo , yo ) đối với đường tròn (C) là 2 PM/(C) = x2 + yo + 2axo + 2byo + c = C(xo , yo ) o +Nhận xét . Vị trí của M đối với (C): M nằm ngoài (C) ⇔ C(xo , yo ) > 0, M nằm trên (C) ⇔ C(xo , yo ) = 0, M nằm trong (C) ⇔ C(xo , yo ) < 0. Định lý . Trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm: (C1 ) : x2 + y 2 + 2a1 x + 2b1 y + c1 = 0 (C2 ) : x2 + y 2 + 2a2 x + 2b2 y + c2 = 0, trong đó (a1 − a2 )2 + (b1 − b2 )2 = 0, c1 − c2 có phương trình: (a1 − a2 )x + (b1 − b2 )y + =0 2 2 Ví dụ Chứng minh các hệ thức hình học Ví dụ . Cho tam giác ABC nội tiếp (O, R), ngoại tiếp (I, r). CMR OI 2 = R2 − 2Rr (hệ thức Ơ-le) 3 Lời giải. Kéo dài BI cắt (O) tại M. Kẻ đường kính MK của (O). (I) tiếp xúc với BC tại D. Ta có BDI ∼ KCM ( ) BI ID ⇒ = = IDM I KM MC ⇒ = = 2Rr Mà = R2 − OI 2 . Vậy OI 2 = R2 − 2Rr (đpcm). Ví dụ . Cho tứ giác ABCD vừa nội tiếp (O, R), vừa ngoại tiếp (I, r). Đặt OI=d. CMR: 1 1 1 + = 2 (Định lý Fuss) (R − d)2 (R + d)2 r Lời giải. Kéo dài BI, DI cắt (O) tại M, N. Ta có ∠M N C = ∠IBC, ∠N M C = ∠IDC. Suy ra ∠M N C + ∠N M C = ∠IBC + ∠IDC = 1 (∠ADC + ∠ABC) = 90o 2 Suy ra O là trung điểm MN. Áp dụng công thức tính đường trung tuyến trong tam giác IMN ta có: OI 2 = IM IN MN IM IN + − = + − R2 2 2 4 2 2 4 Do đó 1 2(R2 + d2 ) IM 2 + IN 2 IM 2 IN 2 1 + = = = + 2 2 2 − d2 2 2 .IB 2 (R − d) (R + d) R (PI|(O) ) IM IN 2 .ID2 = sin B sin D 1 1 1 2 2 + = + = 2 IB 2 ID2 r2 r2 r Tính các đại lượng hình học Ví dụ . (USAMO 1998).