tailieunhanh - Giáo trình Đại số tuyến tính (Giáo trình đào tạo từ xa): Phần 2

Tiếp nối phần 1, phần 2 giáo trình sau đây. Nội dung chính của giáo trình này là những vấn đề mở đầu của đại số tuyến tính, giải tích cổ điển. Tham khảo nội dung giáo trình để nắm bắt nội dung chi tiết. | 38 . KHÔNG GIAN VECTƠ Không gian vectơ là một cấu trúc đại số cơ bản khái quát hóa của không gian vectơ hình học mà người học đã quen thuộc ở chuơng trình bậc trung học phổ thông được định nghĩa như sau . Định nghĩa và tính chất của không gian vectơ. Giả sử V là một tập hợp khác rỗng và trên V đã xác định hai phép toán i Phép cộng Va p e V a p e V. ii Phép nhân vô hướng phép nhân ngoài VảgR V a gV Ảa e V. Tập hợp V cùng với 2 phép toán trên được gọi là không gian vectơ thực hay không gian vectơ trên trường số thực R. nếu các điều kiện sau thỏa mãn 1 a p p a Va 3gV. 2 a 3 y a 3 y Va 3 ỵgV. 3 ưc V sao cho a e a với Vae V. 4 Với mỗi ae V tồn tại phần tử -ae V sao cho a -a 0 5 Ả a P Ảa ẢP VẢG R Va 3 V. 6 Ả jLí a Ảa jLía VẢ g R Va G V. 7 Ảjù a Ả ụa VẢ ựG R Vae V. 8 1a a Va G V. Mỗi phần tử của V được gọi là một vectơ chúng ta không để ý đến bản chất vật lý của các phần tử của V vectơ ỡ nói trong điều kiện 3 được gọi là vectơ không của V vectơ a nói ở điều kiện 4 được gọi là vectơ đối của a trong V. Các số thực Ả được gọi là các đại lượng vô hướng. Không gian vectơ còn gọi là không gian tuyến tính. Ví dụ 1 Tập hợp E2 gồm các vectơ hình học xuất phát từ gốc điểm O trong một mặt phẳng cố định P với phép cộng theo quy tắc hình bình hành phép nhân mỗi số thực với một vectơ thông thường là một không gian vectơ. Ví dụ 2 Tập hợp các số phức c a bi a beM với hai phép toán sau cũng lập thành không gian vectơ i Phép cộng a bi c di a c b d i ii Phép nhân k a bi ka kb i với mọi số thực a b c d k. 38 39 Ví dụ 3 Tập hợp R x các đa thức của biến x với hệ số thực lập thành không gian vectơ với phép cộng đa thức và phép nhân mỗi số thực với một đa thức theo nghĩa thông thường. Ví dụ 4 Tập hợp Rn x các đa thức của biến x với hệ số thực có bậc không vượt quá n lập thành không gian vectơ với phép cộng đa thức và phép nhân mỗi số thực với một đa thức theo nghĩa thông thường. Ví dụ 5 Cho n là số tự nhiên khác 0. Ký hiệu Rn V1 . x2 X1 . x2 G . Định nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng