tailieunhanh - Ebook Hướng dẫn ôn luyện thi môn Toán (Tập 3: Giải tích): Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1 cuốn sách "Hướng dẫn ôn luyện thi môn Toán (Tập 3: Giải tích)", phần 2 giới thiệu nội dung các chủ đề: nguyên hàm và tích phân, đại số tổ hợp. Cuối sách có phần hướng dẫn chi tiết và đáp số các bài tập của từng chủ đề. . | hu dế IV NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Nguyên hàm rich phán 1 íng dụng hĩnh học cua tích phân 1. NGUYÊN HÀM I. KIÊN THỨC CO BẤN VÀ ví DỤ CAN THIÊT 1. Đinh nghĩa và các tinh chất cơ bân Giá sử F x và f x là 2 hàm sô cùng xác định trẽn tập r vr d n X c R. F x gọi là một nguyên hàm cua f x trên tập X z F x f x Vx e X. Mỗi hàm sô hên tục trên tập X đểu có vô sô nguyên hàm trên X. các nguyên hàm ấy sai khác nhau một hằng số cộng. Nói cách khác nếu F x là một nguyên hàm của f x trên tập X thì mọi nguyên hàm của f x trên tập X dểu có dạng F x c. trong đó c là hằng sô tùy ý. Ki hiệu Jf x dx F x c là một nguyên hàm tùy ý cúa l x và gọi là tích phán bất định của f x . Ki hiệu d p x p x dx và gọi là vi phân cúa hàm p x . Ta có d Jf x dx f x dx 157 Jd f x f x Như vậy phép lấy nguyên hàm và phép lấy VI plan là hai phép toán ngược nhau. vi DỤ ỉ. ỉ Chứng minh ràng hàm F x Ịxị - ln l x h một nguyên hàm của hàm số f x . l x LỜI GIẢI Với X 0 f x F x X - ln l x . 1 X Ta có F x 1 - -2L f x . 1 X 1 X VỞ1 X 0 f x í F x -X - ln l - x . 1-x Ta có F x - -1 x - f x . 1 X 1 X Với X 0 f 0 0. Ta có F 0 lim FW-Fít . lim x. ln -1. x- 04 X 0 x- 0 X Hmb-lsíỉlĩ x- 0 X 1-1 0 F 0 . F x - F 0 -X - ln l - x lim - lim- ---- x-0 x-0 X-0 X . In l-x lim -1 -X -1 1 0. 158 Do ló F 0 0 f 0 . Vậy F x f x Vx R. Do đó F x là một nguyên hàm cùa ỉ x . Ta cản nam vững bâng nguyên hàm cơ bản và chú ý rằng - Nêu F x là nguyên hàm của f x thì Jf ax dx 1 F ax c a ựt 0 fy- c. Ngoài ra. dể tính nguyên hàm dược nhanh chóng ta cần nhớ thêm í x a dx - Vx2 a2 -ln x ựx2 a2 . J 2 2 Các cóng thức trên dễ dàng chứng minh bàng cách đạo hàm vế phải. .