tailieunhanh - Ebook Tuyển chọn các bài toán bất đẳng thức và cực trị: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách giới thiệu các bài toán: Áp dụng phối hợp cả hai bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopski, áp dụng bất đẳng thức Bernoulli, áp dụng bất đẳng thức Jensen, áp dụng tam thức bậc hai,. . | DẠNG 4 ÀP DỤNG PHÔI HỢP CẢ HAI BẤT DẲNG thức CAUCHY VÀ BUNHIACOPSKI 1. a Chứng minh ràng 1 - ab Ự 1 a 1 2 l b sinx b cosxi ----------- ----------- 2 b Sứ dụng cáu a suy ra . k 2 . ____ . I a b sinx sinx 1 1 --- . 2 J Dui hục Bách khoa Tổng hợp 1981 ỉiai a Ta có sinx sin2x a b sinx cơsx x 1 - cos2x 4 a b sni2x -ab 1 cos2x 2 2 2 1 ab - ab - l cos2x a b sin2x 2 2 i l ab ự ab - l 2 a b 2 Do bất đẳng thức 2 2 Ị 1 ab ịự ab 2 1 a2 b2 2 2 1 ab V l a2 l b2 2 Vậy sinx acosxXsinx bcosx 1 ab 7 1 a2 l b2 2 b Theo bất đảng thức Cauchy . 1 ab 7 1 a2 l b2 ----------------------- 2 1 1 a2 1 b2 1 ab ------------- _________ 2 2 2 Vậy sinx acosxXsinx bcosx 1 113 2 . Cho a b c là ba cạnh AABC có r là bán kính dường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng AABC đều a b2 c2 36r2. Đại học Xáy dựng Hả Nội Ỉ994 Giải Ta có s2 p p - a p - b p - c pr 2 r2 - p - a p - b p - c p 1 f D a D b D - cý ____ . 2 ----------õ-------- Do bát đảng thức Cauchy pl 3 J 2 1 r2 - ị - a b c 2 27 3 a2 b2 c2 Do bất đẳng thức Bunhiacopski -ỉ- a2 b2 c2 36r2 a2 b2 c2. Dả u a b c. Vậy a2 b2 c2 36r2 Dấu M o AABC đều ĐPCM . 3 . Cho điểm M nằm trong AABC. Gọi X y z là các khoảng cách từ M đến các cạnh BC CA AB tương ứng. Chứng minh rằng - r- r a2 b2 c2 Vx Jy VZ J---- ------ v V 2R Với BC a CA b AB c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác . Đại học Tổng hợp Hà Nội khối A 1994 Giải Ta có s Sạabc S MBC SaMCA Samab abc 1 1 1. 4R 2 2 2 xa yb zc abc 2R 1 Theo bất đẳng thức Cauchy a2 b2 b2 c2 c2 a2 _2 u2 2 ab bc ca ----------- --------- -------- a b c 2 2 2 2 114 Theo bát lang tilde . H I a be 2R a be 2R do 1 c. ab 4 be eca abc a b2 2R do 2 1 z 1 I b 2 a b c jAABCdeu X y z M là tâm aABC. Dau 4. Cho AABC có diện tích bang 4 vã độ dái các cạnh là a b c. Chứng minh rằng a b1 c 256. Đạt học Lâm nghiệp 1995 Giai Cách 1 Theo bât đảng thức Bunhiacopski Cauchy s2 p p - aXp - bXp - c i b4-c 2 -a2 a2 - b - c 2 I 16 2 b2 c2 - a2 .a2 -i- 2a b 4-