tailieunhanh - Một số ứng dụng của đa thức đối xứng
Trong chương trình toán ở THCS khái niệm đa thức đã được trình bày. Nhưng thực sự chưa vận dụng được nhiều vào giải quyết một số bài toán. Trong bài này tôi xin giới thiệu một số ứng dụng của đa thức đối xứng vào việc giải quyết một số bài toán đại số sơ cấp một cách đơn giản. | MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC ĐỐI XỨNG Ths. Cao Ngọc Châu Phòng GD&ĐT Can Lộc, Hà Tĩnh Trong chương trình toán ở THCS khái niệm đa thức đã được trình bày. Nhưng thực sự chưa vận dụng được nhiều vào giải quyết một số bài toán. Trong bài này tôi xin giới thiệu một số ứng dụng của đa thức đối xứng vào việc giải quyết một số bài toán đại số sơ cấp một cách đơn giản. I/ Cơ sở lý thuyết 1/ Định nghĩa: Một đa thức 3 ẩn x,y,z được gọi là đa thức đối xứng nếu nó không thay đổi giá trị khi ta thay thế một cách tuỳ ý các ẩn x,y,z cho nhau. Ví dụ 1: a, Các đa thức sau là đa thức đối xứng x+y, , x2y+xy2, x2+y2, x5+y5, x2+y2+z2, x3+y3+z3-3xyz,. b, Các đa thức sau không phải là đa thức đối xứng: x-y, x2-y2,x3-3y2+2xy,. 2/ Đa thức đối xứng cơ bản a, Với đa thức hai ẩn có hai đa thức đối xứng cơ bản: b, Với đa thức ba ẩn có ba đa thức đối xứng cơ bản 3/ Biểu diễn đa thức đối xứng qua đa thức đối xứng cơ bản. a, Đối với đa thức hai ẩn việc biễu diễn tương đối đơn giản, Ví dụ 2: x2y + xy2=xy(x+y)= , x2+y2=(x+y)2-2xy = , x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y) = , b, Đối với đa thức ba ẩn việc biểu diễn phức tạp hơn, nhưng ta có thể dùng phương pháp hệ số bất định. +, Đa thức 3 ẩn viết dưới dạng đầy đủ , trong đó hạng tử có bộ số mũ là với Ví dụ3: +, Phương pháp biểu diễn: Chọn hạng tử cao nhất giả sử là có bộ số mũ là . Viết tất cả các bộ số mũ thoã mãn và - Giả sử có dạng Cho x,y,z tuỳ ý ta tìm được Ví dụ 4: Biểu diễn đa thức sau: qua các đa thức đối xứng cơ bản. - Hạng tử cao nhất là có bộ số mũ (3,0,0). - Viết tất cả các bộ số mũ: (3,0,0),(2,1,0),(1,1,1) Giả sử có: . Cho x=1, y=-2, z=1 ta được . Cho x=1, y=1, z=0 ta được Cho x=1, y=1, z=1 ta được: Từ đó suy ra: Vậy EMBED II/ Một số ứng dụng 1. Chứng minh các hằng đẳng thức Ví dụ 5: Cho Chứng minh rằng: Giải: Ta có Mặt khác Vậy: hay Đpcm 2. Chứng minh các bất đẳng thức Từ bất đẳng thức Từ BĐT trên ta vận dụng chứng minh các BĐT khác. Ví dụ 6: Chứng minh các BĐT a, ( với b, với Giải: a, Từ hay đặt ta được . b, Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với . Do dương nên . Từ các BĐT và ta có Suy ra tích đa thức sau thành nhân tử: Ví dụ 7: Phân tích đa thức thành nhân tử Giải: Ta có: 4. Giải phương trình và hệ phương trình Ví dụ 8: Giải phương trình Giải: Đặt Ta có: Khi đó ta có hệ: Từ đó suy ra: hoặc . Vì không xảy ra, nên Vậy: ta có hoặc Nếu: thì phương trình có nghiệm Nếu: thì phương trình có nghiệm Ví dụ 9: Giải hệ phương trình Gi¶i hÖ: Giải: Ta đặt t1= x + y và t2= x . y ta có hệ : thế t1 = 3 ta có : do đó x; y là các nghiệm của pt: hoặc từ đó ta có: hoặc Tài liệu tham khảo [1]. Tạp chí toán học và tuổi trẻ Quyển 2, NXB Giáo dục, 2006. [2]. Đậu Thế Cấp, Đai số sơ cấp, Nhà xuất bản Giáo dục, 2004. [3]. Ron Larson and Robert , Houghton Mifflin Company Boston New York.
đang nạp các trang xem trước
