tailieunhanh - Báo cáo tiểu luận môn học: Số học và logic - Đồng dư và các định lý đồng dư

Báo cáo tiểu luận môn học: Số học và logic - Đồng dư và các định lý đồng dư giới thiệu tới người đọc kiến thức cơ bản về đồng dư, hệ thặng dư đầy đủ, các định lý đồng dư, ứng dụng của đồng dư. . | ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN KHOA TOÁN-TIN HỌC BÁO CÁO TIỂU LUÂN MÔN HỌC SỐ HỌC VÀ LOGIC ĐỀ TÀI ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ĐỊNH LÝ ĐỒNG DƯ Họ và tên sinh viên Đỗ Thị Thu Hiền 1311106 Bùi Thị Yến Duyên 1311046 Trần Thị Ngọc Cẩm 1311026 Lê Thị Hiền Diệu 1311038 Khóa học 2015-2016 Giảng viên phụ trách Trần Nam Dũng THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-NĂM 2015 1 I. CƠ SỞ KHOA HỌC 1. Cơ sở lý luận. Lý thuyết đồng dư được xây dựng trên nền tảng là phép chia trên vành số nguyên. Là một nội dung được suy luận một cách lôgic chặt chẽ. 2. Cơ sở thực tiễn Lý thuyết đồng dư sẽ cho ta phương pháp đồng dư đố là một động tác có tính chất kỷ thuật giúp chúng ta bổ sung giải quyết vấn đề chia hết trong vành số nguyên. II. NỘI DUNG 1. Đồng dư . Định nghĩa và tính chất Định nghĩa Cho m E 2 m 1 ta nói a và b đồng dư theo môđun m và viết a b mod m nếu a và b có cùng số dư khi chia cho m hay nói cách khác a - b m Ta có a b mod m 4 a - b m Ví dụ 19 3 mod 8 -25 3 mod 4 Chứng minh Giả sử chia a và b cho n và thu được các thương nguyên và phần dư. Các phần dư nằm giữa 0 và n - 1 nghĩa là a q1n r1 và b q2n r2. Trong đó 0 r1 n -1 và 0 r2 n -1. Khi đó có thể dễ dàng thấy rằng a b mod n khi và chỉ khi r1 r2. Như vậy a b mod n khi và chỉ khi a mod n b mod n . Tính chất cơ bản của đồng dư Tính chất 1 a b mod m c d mod m 2 Thì a c b d mod m mod m an bn Chứng minh Từ giả thuyết ta có a mt b và c d ms suy ra a c b d t s .m điều này có nghĩa là a c b d mod m Từ giả thuyết ta có a mt b và c d ms suy ra bs td mts . n điều này có nghĩa là mod m Tính chất 2 a. c b. dì a m 1 Thì b c mod m Tính chất 3 Xét z và quan hệ m trên z là một quan hệ tương đương i. Phản xạ a a mod m ii. Đối xứng a b b a iii. Bắc cầu a b b c a c 2. Hệ thặng dư đầy đủ Một họ gồm m đại diện lấy từ m lớp thặng dư được gọi là một hệ thặng dư đầy đủ module m Định nghĩa Ọp ữ2 . am là hệ thặng dư đầy đủ mod m V X E z 3 ĩ E 1 2 . m X 0-1 mod m Ví dụ -4 5 10 15 là một hệ thặng dư đầy đủ theo .