tailieunhanh - Ebook Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp (Tập 2) (in lần thứ năm): Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp" cung cấp cho người đọc các kiến thức về đẳng thức và bất đẳng thức bao gồm: Biến đổi đại số, bất đẳng thức, giá trị lớn nhất nhỏ nhất, ứng dụng bất đẳng thức trong phương trình và bất phương trình,. . | PHẨN THỨHAI ĐANG thức và bất đang thức Chương I BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ 1. Đẳng thửc đại số Đê chứng minh càc đãng thức đại số. ta thường sử dụng các hằng đắng thức quen biết sau đây 1. a b 2 a2 b2 2ab a b c 2 a b2 c2 2 ab bc ca . 2 a - b 2 a2 b2 - 2ab 3. a b 3 a3 b3 3ab a b a b c 3 a3 b3 c3 3 a b b c c a 4. a - b 3 a3 - b3 - 3ab a - b . 5. a 2 - b2 a b a - b . 6. a3 b3 a b a2 b2 - ab a b 3 - 3ab a b . 7. a3 - b3 a - b a2 b2 ab a - b 3 3ab a - b Một cách tông quát 8. a2n ì b2n41 a f b a2n - a2n b . b2 1 . 245 9. a11- bn a - b an 1 a 2b . h Ví dụ 1. Chứng minh rằng a2 b2 x2 y2 ax by 2 ay bx 2. Giải Biến đối vế phái ta được ax 4- by 2 ay - bx 2 a2 X2 4- b2y2 4- 2axby a2y b2x2 - 2axby a2x2 a2y2 b2x2 4- b2y2 a2 b2 x2 y2 . Đẳng thức được chứng minh. Vi dụ 2. Chúng minh ràng X 4 y x - y x x 4- 2y - y 2x 4- y Giải Viết đáng thức đã cho dưới dạng x x - y - x 2y 4- y x - y 2x y l 0. I Biến đối các biểu thức trong ngoặc vuông ờ vê trái cùa 1 . ta được x-y x 4- Zy x -y -3xy x-y -x - - Xy3 - 6xy x 4- 2y - 9x3 - 9xy x 4- y X - y 1 4- 2x 4- y 3 X3 y3 - 3xy x - y 4- Xx3 y34- 6xy 2x 4- y 9x 1 4- 9xy x 4- y . Suy ra vê trái cùa 1 bàng x -9y3 -9xy x 4- y 4- y 9x3 4- 9xy x y 9xy x2 y2 - 9xy x x 4- y - y x y 9xy x2 - y2 - 9xy x2 - y2 . Đẳng thức được chứng minh. Vi dụ 3. Chúng minh ràng X4 y1 x y 4 2 x2 4- XV y2 2. Giải Viết đảng thức đã cho dưới dạng. 2 x2 4- xy 4- y2 2 - x4 - y4 X 4-y 4 Biến dối vế trái ta dược 2 x 4-xy4-y - X - y x2 4- xy 4- V2 2 -x4 4- x2 4- xy 4- y2 2 - y4 246 XV 4 y 2x XV yT tx2 xy x x 4- XV 4- 2y X y y 2x 4- xy y 4- x x 4- xy 4- 2y X 4- y 1X 4 3x2y 3xy2 4- y2 x y x y X 4- y J Vậy đãng thức được chửng minh. V dụ 4. hửng minh rang nêu ít nhất có hai trong ba số a. b. c khác nhau thì a 4- b c - 3abc a 4- b 4- c a - b 2 b-c 2 4- c-a 2 2 Giàr. Biến đối tứ sỏ cúa phân thức ỏ vế trái ta dược a3 4- b3 4- c3 - 3abc a 4- b 3 - 3ab a b c3 - 3abc a b 3 4- c3 - 3ab a 4 1 4 c a 4 b 4- c 3 - 3 a 4- b c a 4- b 4- c - 3ab a 4 b 4c a 4- b 4- c a 4- b 4- c 2 - 3 ab 4- bc 4- ca a 4- b 4-