tailieunhanh - 2 Đề thi chọn HSG Toán 12 (2012-2013)

2 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 (2012-2013) dành cho học sinh và giáo viên tham khảo, giúp các em phát triển và tư duy năng khiếu của mình, nhằm giúp bạn củng cố kiến thức luyện thi học sinh giỏi đạt kết quả cao. | SỞ GDĐT NINH BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT Kỳ thi thứ nhất - Năm học 2012 - 2013 MÔN TOÁN Ngày thi 09 10 2012 Thời gian làm bài 180 phút Đề thi gồm 04 câu trong 01 trang Câu 1 5 điểm x3 y2 - 2y 8 Giải hệ phương trình í y3 z2 - 2z 8 z3 x2 - 2x 8 Câu 2 5 điểm Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi P Q lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABH và ACH. Các đường thẳng AP AQ lần lượt cắt BC tại D và E. Chứng minh rằng đường thẳng AH DQ EP đồng quy tại một điểm. Câu 3 6 điểm Cho phương trình ân x tham sô n nguyên dương . - _ 3 x 2x2 3x3 . nx - 0 4 a Chứng minh rằng với mỗi sô nguyên dương n phương trình có 1 nghiệm dương duy nhất kí hiệu nghiệm đó là xn. b Chứng minh rằng limxn I. Câu 4 4 điểm Cho tập Sn 1 2 3 . n với n là sô nguyên dương lớn hơn 2. Có bao nhiêu cách chia tập Sn thành ba tập con khác rỗng hợp với nhau bằng Sn và đôi một giao với nhau bằng rỗng sao cho mỗi tập con không chứa hai sô nguyên liên tiếp HẾT Họ và tên thí sinh .Số báo danh. Họ và tên chữ ký Giám thị 1 . Giám thị 2 . SỞ GD ĐT NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT Kỳ thi thứ nhất - Năm học 2012 - 2013 MÔN TOÁN Ngày thi 09 10 2012 hướng dẫn chấm gồm 04 trang Câu Đáp án Ta có x33 y2 2 8 y3 z2 - 2z 8 z3 x2 - 2x 8 x y -1 2 7 y3 z -1 2 7 x y z 1 z3 x -1 2 7 1 Giả sử x max x y z y-1 2 max x-1 2 y-1 2 z-1 2 5 điểm y max x y z x y y z. Vậy x y z. Khi đó ta có phương trình x3 x2 - 2x 8 x3 - x2 2x - 8 0 x - 2 x2 x 4 0 x 2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y z 2 2 2 . Điểm 1 0 1 0 1 5 1 0 0 5 2 5 điểm Cách 1 B AH Ách AE B AH HaE B AH 1H AC 2 Bea Ach Eac Ach 1H AC 2 Bea EaB tam giác ABE cân tại đỉnh B. Mà BP là đường phân giác góc Abe BP là đường trung trực của đoạn AE PA PE . Mặt khác PAE PAH HaE AH HaC 1 B AC 450 1 0 1 0 1 0 1 0 APAE vuông cân tại đỉnh P EP 1 AD . Tương tự DQ 1 AE. Vậy AH DQ EQ là các đường cao của tam giác ADE suy ra AH DQ EP đồng quy. Cách 2 Áp dụng tính chất tia phân giác các góc trong tam giác PA AB QE _ CE HD _ AH EC _ AC .