tailieunhanh - Bài giảng Giải tích 2: Chương 2.1 - Nguyễn Thị Xuân Anh

Bài giảng Giải tích 2: Chương trình bày về tích phân kép – định nghĩa và cách tính bao gồm công thức đổi biến sang tọa độ cực và các bài tập áp dụng. Tham khảo nội dung bài giảng để hiểu rõ hơn về các nội dung trên. | D1 D2 D3 D4 Miền D được chia thành 4 phần §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ví dụ : Tính tích phân trong đó D là miền giới hạn bởi : π/4≤max{|x|,|y|} ≤ π/2 Ta còn có thể tính tích phân này bằng cách tính tích phân trên hình vuông lớn trừ tích phân trên hình vuông nhỏ §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Tương tự, ta tính cho 3 tích phân trên 3 miền còn lại. Ví dụ: Tính tích phân kép D là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1 D1 D2 D2 §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính D là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1 Ví dụ: Tính tích phân kép D là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1 Ví dụ: Tính tích phân kép D là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1 Nếu chỉ nhìn vào miền lấy tích phân này thì ta chiếu D xuống trục nào cũng như nhau. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Tuy nhiên, hàm dưới dấu tích phân sẽ buộc ta phải chiếu D xuống trục Oy Ví dụ: Tính tích phân Với D là miền giới hạn bởi 1 1 Chiếu miền D vừa vẽ xuống trục Ox §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ví dụ : Đổi thứ tự lấy tích phân sau 2 Ta vẽ miền lấy tích phân D: D1 D2 Ta thấy phải chia D thành 2 phần D1 và D2 -2 2 Nhắc lại về tọa độ cực Điểm M có tọa độ là (x,y) trong tọa độ Descartes. Khi đó, mối liên hệ giữa x, y và r, φ là §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực M(x,y) φ r Đặt : Ví dụ: Đổi các phương trình sau sang tọa độ cực Đổi sang tọa độ cực mở rộng bằng cách đặt : Thì ta được pt r = 1 §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực 1. (x-a)2 + y2 = a2 ↔ x2 + y2 = 2ax ↔ r = 2acosφ 3. x = 3 ↔ rcosφ = 3 2. x=, y = ↔ Công thức đổi biến sang tọa độ cực Trong đó Thông thường, ta sẽ đổi tích phân kép sang tọa độ cực nếu miền lấy tích phân kép là 1 phần hình tròn hoặc ellipse §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực = r §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Để xác định cận của tích phân theo φ, ta quét từ dưới lên theo ngược chiều kim đồng hồ bởi các tia màu đỏ. Ví dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi : Ta được φ đi từ 0 đến π/2 Còn để xác định cận của tích phân theo r, ta sẽ đi theo 1 tia màu vàng từ trong gốc tọa độ ra, gặp đường nào trước thì pt đường đó (trong tọa độ cực) là cận dưới, đường nào trước thì pt đường đó là cận trên. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Nếu chỉ gặp 1 đường như trong ví dụ này thì cận dưới ta sẽ lấy là 0, cận trên là pt đường tròn sau khi đổ sang tọa độ cực: r = 2cosφ Vậy : §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Đi từ trong gốc tọa độ ra chỉ gặp 1 đường nên 0 ≤ r ≤ a Trong đó D giới hạn bởi Ví dụ : Tính tích phân Suy ra: y=√3x ↔ y/x = √3 ↔ φ = π/3 §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Trong đó D giới hạn bởi Ví dụ : Tính tích phân y > 0, x+y=0 ↔ φ = 3π/4 Suy ra : 3π/4 ≤φ ≤ π x2+y2 = 2y ↔ r = 2sinφ Suy ra : 0 ≤ r ≤ 2sinφ Ví dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi : §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi : Ví dụ : Tính tích phân 2x ≤ x2+y2 ≤4x ↔ 2cosφ ≤ r ≤ 4cosφ Đây là trường hợp ta có thể không cần vẽ hình cũng lấy được cận tích phân Ví dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi 2 1 1 -1 Ta đi tích phân này bằng cách dời hình tròn để tâm hình tròn là (0,0), sau đó mới đổi sang tọa độ cực. Thực hiện 2 việc trên bằng 1 phép đổi biến sang tọa độ cực mở rộng như sau: đặt §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Khi đó, miền D giới hạn bởi Vậy : §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi a b Ta đổi biến sang tọa độ cực mở rộng bằng cách đặt Thì D giới hạn bởi §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực