tailieunhanh - Giáo trình Đại số hiện đại (Phần 1: Đại số trừu tượng): Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1 cuốn giáo trình "Đại số hiện đại (Phần 1: Đại số trừu tượng)", phần 2 trình bày các nội dung: Vành, tường và vành đa thức; mô đun; môđun trên vành giao hoán. Cuối mỗi chương đều có phần bài tập về người học có thể ôn tập và củng cố kiến thức. | Chương III VÀNH TRƯỜNG VÀ VÀNH ĐA THỨC Trên một tập hợp có thể xác định nhiều phép toán để lặp nên một cấu trúc đại số. Tập hợp các số nguyên z là một ví dụ điên hình với hai phép toán cộng và nhản quen biết mà phép nhản có tính phản phối với phép cộng. Chương này chính là dành cho việc nghiên cứu một cách mờ đầu và cỏ đọng những cấu trúc đại số được xác định bời hai phép toán. 1. Các định nghĩa và ví du . Định nghĩa i . Một tập hợp R đirợc gọi là một vành nếu trẽn R có hai phép toán hai ngôi một gọi là phép cộng và một gọi là phép nhan sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn Rị Tập hợp R là một nhóm Abel đối với phép cộng. Rì Phép nhàn trên R là két hợp và có đơn vị. Luật phân phối Phép nhân là phân phối dối với phép cộng. Tức. với các phần tữ .. z e R tuỳ ý. ta luôn có .r y z .rz yz và c .r ZJ- zy. Như thông thường ta ký hiệu phần từ đơn vị đối với phép nhãn cùa R là c e và phần tữ không của nhóm Abel cộng cùa R là 0 J. Trường hợp vành R đã xác định cụ thè trước thì ta ký hiệu dơn giàn 1 cho phần từ dơn vị và 0 cho phần từ không cùa R. Một vành R được gọi là vành giao hoán nếu phép nhãn cũa R thỏa mãn thêm điều kiện .vy . Vj-. y e R. Cần chú ý ờ dày rằng trong các giáo trình ve dại số két hợp một vành không dõi hòi phái có đơn vị. Tuy nhiên trong nhiêu hướng nghiên cứu khác thì luôn can giã thiết thèm sự ton tại đơn vị cùa một vành và húng la di theo hướng này. 61 Giáo trinh đại ố hiện tint ii . Một vành được gọi là một trường nếu R là một vành giao hoán và mọi phần tữ khác không của R đều có nghịch lão. Nghĩa là tạp hợp R lập thành một nhóm đối với phép nhân cùa R. Trước hết ta tóm tẩt một số tính chất đon giàn nhất về vành và trường. . Tính chất. Cho R là một vành. Khi đó ta có các tính chất sau đây. 1 r0 0. 6 . Thật vậy. từ luật phản phối cùa phép nhan đối với phép cộng 4- J- 0j- 0 4-1 .r z ta suy ra 0. Tương tự. ta cũng có .r0 0. 2 Nếu có ít nhất hai phần từ thì 0 1. Thật vậy. nếu 0 1 thì r rl . 0. R. 3 .ợ - . với .