tailieunhanh - Ebook Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên: Phần 2

Tiếp nối phần 1, tiếp phần 2 cuốn sách "Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên" của tác giả Trần Hùng Thao sau đây. Phần này gồm nội dung chương 6,7 và phần phụ lục. Mời bạn đọc tham khảo. | 97 Chương 6 LÝ THUYẾT KHUẾCH TÁN 1. Quá trình khuếch tán Các quá trình khuếch tán thực chất là các mô hình toán học cóa các chuyển động cúa các hạt riêng biệt trong quá trình này sinh ra môt so chất từchất khác và các phân từ cùa chúng chuyên động hõn loạn. Các quá trình khuếch tán cũng mô tá các hiện tưong sinh hoc như sư biến đối theo thời gian cũa số các tế bào trong một CO thể sinh vật hoăc sự tâp trung cúa các gien trong một quần thê. Lý thuyết các quá trình khuếch tán gắn bó tự nhiên vói Lý thuyết Phưong trình đao hàm riêng. Thưc ra. theo quan điếm tất định môt quá trình khuếch tán là lời giãi cùa bài toán Cauchy cho một loai phưong trình đao hàm riêng parabolic. Theo quan điêm ngẫu nhiên thì quá trình khuếch tán thực chất là một ho các quá trình ngẫu nhiên và là các quá trình Markov. Các quá trình này thoa mãn môt phương trình vi phân ngẫu nhiên mà ta cũng goi là phương trình khuếch tán. Tất nhiên có một sự tương quan một một giữa phương trình khuech tán tất định và phương trình khuếch tán ngẫu nhiên. . Định nghĩa Môt ho các quá trình Markov Xị Pjc trên không gian Rn 3uơc goi là quá trình khuếch tán trên Rn nếu d Toán từ sinh cưc vi .4 của quá trình Markov X xác đinh trên mọi hàm hũu han khà vi liên tục hai lần. và tồn tại hàm vectơ liễn tuc b x và ma trân vectơ liên tục a J x đối xúng và xác định không âm với mọi r sao cho wee -- LJW I - 77 Ẻ i . j 1 1-1 b Toàn bô quĩ đao cùa các X đều là liên tuc UK . Chú ý ứ Từ dinh nghia trén ta co thê no. rằng quó trinh khuếcr. tan ià mõt ho các quá trinh Markov sao cho toan tư sinn cưc vi .4 cua nc trùng vói toán tư vi phân cấp hẽi ỉ. b 1 Nhắc lai toán tư smh CƯC infinitesimal generator cừa môt cuá trình Markov Một qua trình Markov A tương ứng với môt bán nhóm ỉ xác dinh trên các hàm thuôc lớp bơi ptf .Z I PiT. dy f y I với pỊ X. .4 I là xác suit chuyên. Khi đó toán tữ sinh cưc vi tương ứng .-1 cươc xác đinh bơi p ĩ A ỉ in-. ---- n Ị trong dó ỉ là toán tư cồng nhất. c Ta cũng có thé cnứng minh rang một quá trình