tailieunhanh - Bài giảng Giải tích 2: Chương 4 - Nguyễn Thị Xuân Anh

Bài giảng Giải tích 2: Chương 4 có nội dung trình bày về tích phân mặt loại 1, tích phân mặt loại 2 bao gồm định nghĩa, tính chất, cách tính và các ví dụ cụ thể áp dụng cho từng nội dung trên. | CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT §1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1 §1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2 Tích phân mặt loại 1 Định nghĩa : Cho hàm f(x,y,z) trên mặt S. Chia S thành n phần tùy ý không dẫm lên nhau. Gọi tên và diện tích của mỗi mặt đó là ΔSk, k=1, 2, , n . Trên mỗi mảnh đó ta lấy 1 điểm Mk tùy ý và lập tổng Cho max(dΔSk) → 0 (dΔSk là đường kính của mảnh Sk), nếu tổng trên dần đến 1 giới hạn hửu hạn thì ta gọi đó là tp mặt loại 1 của hàm f(x,y,z) trên mặt S, kí hiệu là Tích phân mặt loại 1 Tính chất : Diện tích mặt S được tính bởi Nếu mặt S được chia thành 2 mặt không dẫm lên nhau là S1 và S2 thì Tích phân mặt loại 1 Cách tính: Trong đó : Dxy là hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxy (z=0) Từ pt mặt S là F(x,y,z)=0 ta rút ra z theo x, y để được z=z(x,y) Biểu thức được gọi là vi phân của mặt S Tích phân mặt loại 1 Ví dụ 1: Tính tích phân I1 trên mặt S là phần mặt nón z2=x2+y2 với 0≤z≤1 của hàm f(x,y,z)=x+y+z Hình chiếu của S xuống mp z=0 là Dxy : 0≤x2+y2≤1 Pt mặt S (z dương) → Suy ra: Vậy: Tích phân mặt loại 1 Đổi tp sang tọa độ cực: Tích phân mặt loại 1 Ví dụ 2: Tính tích phân I2 của hàm f(x,y,z)=x+2y+3z trên mặt S là mặt xung quanh tứ diện x=0, y=0, z=0, x+2y+3z=6 O A B C Mặt S gồm 4 mặt nên tp I2 cũng được chia làm 4 tp Vì mặt x=0 nên x’y=x’z=0 → ds=dydz, chiếu xuống mp x=0 ta được Dyz: ΔOBC Tích phân mặt loại 1 O A B C Tương tự, tp trên 2 mặt tọa độ còn lại Cuối cùng, trên mặt x+2y+3z=6 (mp(ABC)). Ta chiếu xuống mp z=0 thì Dxy: ΔOAB , vi phân mặt : Tích phân mặt loại 1 Do đó: Tích phân mặt loại 1 Ví dụ 3: Tính tp I3 của hàm f(x,y,z)=x2+y2+2z trên mặt S là phần hình trụ x2+y2=1 nằm trong hình cầu x2+y2+z2=2 Chú ý: Ta không thể chiếu S xuống mp z=0 được vì cả mặt trụ x2+y2=1 có hình chiếu xuống mp z=0 chỉ là 1 đường tròn x2+y2=1 Chiếu S xuống mp x=0 hay y=0 đều như nhau. Ta sẽ tìm hình chiếu của S xuống mp x=0 bằng cách khử x từ 2 pt 2 mặt và được Dyz: y2≤1, z2 ≤ 1 Khi đó, ta viết x theo y, z từ pt mặt S: Do pt cả 2 mặt đều chẵn đối với x nên mặt S nhận x=0 là mặt đối xứng. Hơn | CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT §1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1 §1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2 Tích phân mặt loại 1 Định nghĩa : Cho hàm f(x,y,z) trên mặt S. Chia S thành n phần tùy ý không dẫm lên nhau. Gọi tên và diện tích của mỗi mặt đó là ΔSk, k=1, 2, , n . Trên mỗi mảnh đó ta lấy 1 điểm Mk tùy ý và lập tổng Cho max(dΔSk) → 0 (dΔSk là đường kính của mảnh Sk), nếu tổng trên dần đến 1 giới hạn hửu hạn thì ta gọi đó là tp mặt loại 1 của hàm f(x,y,z) trên mặt S, kí hiệu là Tích phân mặt loại 1 Tính chất : Diện tích mặt S được tính bởi Nếu mặt S được chia thành 2 mặt không dẫm lên nhau là S1 và S2 thì Tích phân mặt loại 1 Cách tính: Trong đó : Dxy là hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxy (z=0) Từ pt mặt S là F(x,y,z)=0 ta rút ra z theo x, y để được z=z(x,y) Biểu thức được gọi là vi phân của mặt S Tích phân mặt loại 1 Ví dụ 1: Tính tích phân I1 trên mặt S là phần mặt nón z2=x2+y2 với 0≤z≤1 của hàm f(x,y,z)=x+y+z Hình chiếu của S xuống mp z=0 là Dxy : 0≤x2+y2≤1 Pt mặt S (z dương) → Suy ra: Vậy: Tích phân