tailieunhanh - Ebook Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy số (tái bản có sửa chữa bổ sung): Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1 cuốn sách "Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy số", phần 2 cung cấp cho người đọc các kiến thức xác định giới hạn của dãy số, một số ứng dụng của dãy số. nội dung chi tiết. | Giải. Xét In sinx dx ta có ĩ ĩ 2 2r In - Ị sinx -1 d cosx - sinx n-1 .cosx J cosxd sinx -1 2 2 n n 1 Ị cos2 X sinx -2 dx n - 1 Ị l-sin2x sinx -2 di 0 0 X 2 Ị sinx n-2 sinz dx n - 1 4-2 - n - 1 4 Vậy nln n - 1 4-2 In In-2- Vì lo g 1 1 nên Ti ju 2n - 1 2n - 1 2n - 3 _ 2n - 1 2n - 3 3 1 7T 2n 2n 2n-2- 2n 2n-2Ỉ2n 4 2n 2n - 2 4 2 2 2n 2n 2n - 2 2n 2n - 2 4 2 2n 1 - 2nTĨ 2 -1 - 2n 1 2n - 1 2n-3 2n l 2n - 1 5 3 Do đó 4n i . 2n - 2 2n 2 2 hn . 2n-l 2 2n l 2n l _ 2n Aỉn-1 2n 1 Vì 0 sinx l Vx G ũ nên sinx 2n 1 sinx 2 1 sinz 2n-1. Do đó ir 2 ir 2 ir 2 0 Ị sinx 2n 1 dx ị sinx 2ndx Ị sinx 2 -1 dx 0 0 0 hn hn-t 5 -7 1. in 4- 1 Ỉ2n-1 l2n Mà lim --n 1 nên từ ta có lim 2n 1. Từ suy ra n- oo 2n 1 v n- oo ỉ2 1 _ 7 n- oo . . 2n 1 ự2n 1 V 2 340 2 9 Hai dãy tiếp cận nhau 2 Một số kiến thức thường dùng. pinh nghĩa 20. Hai dãy số xn và yn gọi là tiếp cận nhau nếu chúng đong thời thỏa mãn ba diều kiện sau 1 W là dãy số tăng. 2 ỉ n là dãy số giảm. 3 lim xn-yn o. n- oo Đinh lý 18. Hai dày tiếp cận nhau thì hội tụ dến cùng một giới hạn. Chứng minh. Giả sử in yn là hai dãy số tiếp cặn nhau và xn là dãy tăng ítn là dãy số giảm. Ta cứ cho rằng ba điều kiện 1 2 3 đúng ngay từ n 1 nếu không thì ta loại đi một số số hạng . Xét dãy số in định bởi zn Vn Vn 1 2 . Ta có n l zn n l - ĩ n 1 - -En í n n l 3-n j n ỉ n l Vn N . Mà Zn 1 - xn 0 Vn 1 2 . và yn - ị n 1 0 Vn 1 2 . nên Zn i - Zn 0 Vn 1 2 . Do đó in là dãy số tăng. Từ 3 suy ra lim linl 0 hay lim zn 0. n- oo n oo Vậy n là dãy tăng và hội tụ về 0. Do đó zk lim zn Vk 1 2 . hay zk 0 VA- 1 2 . do dó xk yk Vk 1 2 . Như vậy ta có x2 x3 xn yn yn-i y2 yi- yặy in tăng và bị chặn trên bị chặn trên bỏi yi chẳng hạn nên hội tụ. Sọ 1 ỉ n giảm và bị chặn dưới bị chặn dưới bỏi chảng hạn nên hội tụ. Từ n-ỉi oo l n - íhl 0 suy ra lim in - yn 0 lim xn - lim yn. n ũQ n co n oo tat Sau n xẻt 22. Nếu hai dãy số xn và yn đồng thời thỏa mãn ba diều kiện 1 xn là dãy số tăng 2 ỉ n là dãy số giảm thị 1 3 Xn yn n at dãy i và j n hội tụ và lim xn lim