tailieunhanh - Ebook Bồi dưỡng học sinh giỏi lượng giác: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1 cuốn sách "Bồi dưỡng học sinh giỏi lượng giác", phần 2 cung cấp cho người đọc các kiến thức cơ bản và các dạng bài tập bất đẳng thức trong tam giác, vài ứng dụng của lượng giác trong việc giải các bài toán sơ cấp. . | Gầưưng4. BÂT ĐẮNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC 1. BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG ĐlỀư KIỆN 4. Các bất đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác Trong mục này chúng lôi sẽ irình bày các bâl đẳng ihức lượng giác nil cơ bản mong mộl lam giác. Nó ihường xuyên được sử dụng trong việc nghiên cứu các bâ t đẳng thức hình học nói chung và irong tam giác nói riêng. Bài í. Trong mọi tam giác ABC ta có các hệ thức sau 3 I 1. cosA cosB cosC -T. 2 cosA cosBcosC 77 . 2 X .ì_ A B c . I . . 2A .2d . -2- 9 3. sin sin sin . 4. sin A sin B sin c . 2 2 2 8 4 Dâu bằng xảy ra trong các bâì đẩng Lhiíc trên khi và chí khi ABC là lam giác đều. Giải 1. Ta có cosA cosB cosC 7- 1 2 A B A B 0 2 c 3 0 2cos 4 cos ----1-1 - 2sin 77 2 2 2 2 a. c A B I 4 sin -4sin cos 1 0 2 2 2 . í c _ A-B 2 . 2 A B _ o 2sin -cos- sin 0 2 I 2 2 1 2 . Vì 2 hiển nhiên đúng vậy 1 đúng đpcm A-B_n 2 sin cos - 0 2 A-B sin _ - 2 2 Đấu bằng xảy ra c A B C ABC là lam giác đều. Chứng minh lương tự 1 . Bài 2. Trong mọi lam giác ABC. ta có . 3 3 1. sinA sinB sinC 7 . 2 __ _ A . B . C 3s ã 3. COS cos cos . 2 2 2 2 . A . B C 3 2. sin sill sin 2 2 2 2 274 Dâu băng xảy ra trong các bất đẳng thức trên khi và chí khi ABC là tam giác đều. Giai 1. Ta có mệnh đe sau ktíf. . _ ro. -1 U . sinx siny x y a. Neu X. y G 0 71 ihì - 2 2 cos X cos V X 4- y -----7----- cos - - 2 2 thì WT S. _ IV. lĩ b. Neu X y e 12 2 Dâu bằng xảy ra trong các bất đẳng thức trên khi và chỉ khi X y. Áp dụng mệnh đề trên ta có . . n _ 7t - A . sin c sin-- . n c - sin A 4- sin B 3 _. A B . 3 _ n -sin sin - A B C - ----- ----- ------------------ T---------- á sin---------- 2 2 4 z sinA sinB sine 4- sin 4sin-- 3 3 Dâu bằng xảy ra - sinA sinB sinC 2 A B 7t A B C ABC là lam giác đều. 7 2 3 Chứng minh tương lự I . Bài 3. Trong mọi lam giác ABC la có các hệ thức sau I ._A . B . - I tan - 4- tan tan V3 2 2 2 2. coiA 4- colB colC x 3 . Dấu bằng xảy ra khi và chi khi ABC là lam giác đều. Giái 1 A . B . c - I. tan-- tan 4-tan x 3 2 2 2 I A B __C 2 tan tan tan k 2 2 2J