tailieunhanh - Ebook Bồi dưỡng học sinh giỏi phương trình hàm: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1 cuốn sách "Bồi dưỡng học sinh giỏi phương trình hàm", phần 2 giới thiệu tới người đọc các kiến thức: Phương trình hàm trên N, Z, Q; sử dụng dãy số để giải một số dạng phương trình hàm, một số phương trình hàm tổng quát, bất phương trình hàm. Mời các bạn tham khảo. | So sánh hệ số của lũy thừa cao nhất ở hai vế cùa 1 ta được an2n 8an 4 2 23 n 3. Vậy p x là đa thức bậc ba. Từ 1 lấy X -10 ta được p -4 0. Từ 1 lấy X -2 ta được -48p 4 8p -4 0 4 p 4 0. Từ 1 lấy X 4 ta được 14p 8 10 0. Như vậy p x a x - 4 x 4 x - 8 Vx e R Do p l 210 nên 105a 210 44 a 2- Như thế p x 2 x - 4 x 4 x - 8 Vx R. 2 Thử lại với p r là đa thức xác định bởi 2 ta có x 10 p 2x x 10 2 2x - 4 2x 4 2x - 8 16 x 10 x-2 x 2 x-4 . 3 8x - 32 p x 6 8 x - 4 2 x 2 x 10 x - 2 16 x 10 x - 2 x 2 x - 4 . 4 Từ 3 và 4 suy ra đa thức xác định bôi 2 thỏa mãn 1 . Vậý có duy nhất một đa thức thỏa mãn yêu cầu đề bài là p x 2 x 4 x 4 x-8 Vx e R. Bài toán . Tỉm tất cá các da thức P x R x thỏa màn P 2 12 và P x2 x2 x2 l P x Vx e R. 1 Giải. Từ 1 cho X 0 ta dược P 0 0 cho X 1 được P l 2P 1 hay P l 0 cho X -1 được P l 2P -1 4 P -l 0. Vậy P r có ba nghiệm là 0 1 1. Giả sử P x có nghiệm thực t ị 0 1 1 khi đó từ 1 suy ra í2 cũng là nghiệm của P x tương tự suy ra t4 cũng là nghiệm của P x nhưng với t ị 0 1 -1 thì tất cả các phần tử của dãy t t2 t4 . t2 . là khác nhau đỏi một nên suy ra P x có vô số nghiệm suy ra P x 0 mâu thuẫn với P 2 12. Vậy P x chỉ có ba nghiệm thực là 0 1 -1. Giả sử deg P n. Từ 1 suy ra 2n n 4 44 n 4. Vậy P x có một trong ba dạng sau P x ax2 x l x 1 P x x x - l 2 x l P x ax x-l x 1 _ . 2 2 Do P 2 12 nên a 1 hoặc a 2 hoặc n Thử lại chỉ có P x x2 x - l x 1 VieR thỏa mãn các yêu cầu đề bài. Bài toán . Tim các đa thức với hệ số thực P x thỏa mãn điều kiện P P x x P x P x l VxeR. 1 396 Giải. Già sử deg P n. So sánh bậc của hai vế của 1 ta thu được Khi n 0 ta được đa thức hằng P x c. Thay vào 1 thu được I c c2 c ỉ. Vặy p x 0 và P x 1 là các đa thức hàng thỏa mãn bài ra. Xét n 2. Giả sử P x ax2 4- bx 4- c a 0. So sánh hệ số cao nhất trong 1 thu được a3 a2 a 1. Vậy P x X2 bx 4- c với b c e R. 2 Khi đó P x P x 4-1 P x z2 bx 4- c 4 2x b 4- 1 P x P x 4- 2x 4- b 4- 1 P x j2 2xP x 4- bP x P x P x 4- xỊ2 4- b P x 4- x 4- c - X2 - bx - c 4- P x p P x 4- x Vx 6 R. Vậy đa thức .