tailieunhanh - Các vấn đề về đa thức

Các vấn đề về đa thức gồm các nội dung sau: định nghĩa và các phép toán, hệ số và giá trị đa thức, đa thức với yếu tố giải tích, phép chia đa thức, ước - bội, nghiệm của đa thức, giải phương trình bậc ba và bậc cao. | 1. ĐINH NGHĨA VẰ CẤC PHỄP TOẴN . Định nghĩa đa thức Cho hàm sô f K R. Ta gọi f là đa thức nếu f const hằng số hoặc tồn tại neZ n l và các sô thực a0 a a2 . an với ao O sao cho f x auxn a1xn 1 . a _lx an. a0 a a2 . a gọi là các hệ số. Trong đó a 0 là hệ số cao nhất an là hệ sô tự do. Đặc biệt a0 i gọi là đa thức chuẩn tắc hay mônic. Với a0 0 thì n là bậc của đa thức f x . kí hiệu degf n. Đặc biệt f const thì deg f 0. n Đôi khi ta viết gọn f x 1 hay việt ngược lại i 0 f x Ybkxk bx bn xn . b0 bn 0 K n 11 -I I u n k 0 . Đa thức trên các tập sô Cho f x aoxn alx 7 . an_lx an Nếu các hệ số 3j e 3 thì kí hiệu f G ÌR x . Nếu các hê số 3ị G Q thì kí hiệu f G Q x . Nếu các hệ sô 3ị G z thì kí hiệu f 6 z x . . Các phép toán Cho f x 30xn alx 1 1 . an_ X 3n g x b0xm blxm l . bin lx b . Khi đó ta có 3 phép toán thông thường f x g x f x -g x f x .g x vàphéphợp fog x f g x . Từ f x g x ta có thể viết theo hình thức sau f x Aoxk A xk .TAk_ k Ak g x Boxk B xk . Bkịx Bk. Với k max n m Aị 0 hoặc aj5 Bị 0 hoặc b thì ta có Thì f x g x A0 B0 xk A B xk . Ak Bk 5 f x .g x cox2k C1-X2k l . C21 _ C2k. Kết quả Cho f g e R x và degf n degg m. Thì deg f g max m n n m degfog . . Đa thức sai phân Cho f eR x degf n đa thức sai phân Af f x l -f x 2 ai x l n y aỀxn 3 x 1 1 - xn i 0. J--0 i 0 có bậc là n -1 và hệ số cao nhất là na0. Từ đó ta có dãy đa thức sai phân giảm dần một bậc Akf. . Đa thức Trê-bư-sếp r í T0 x l Tj x x Cho Tn x VỚH 0 Tn 1 x x -Tn_ x n 1 Cụ thể To x 1 T x X T x 2x2 -1 T3 x 4x3 -3x T4 x 8x4 -8x2 1 T5 x 16x5 -20x3 5x . Đa thức Trê-bư-sếp Tn x có bậc là n và có hệ số cao nhất là 2n . Đôi khi ta chỉ xét n 1 trở đi. Kết quả 1 Tn cosa cos na. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n 1. Khi n 1 T cosa cosa. Khi n 2 T2 cosa 2cos2 a-1 cos2a. Giả sử Tk cosa coska. Thì Tk 1 cosa cosa -Tk_ cosa 2cos k-l a cos a ka cos a-ka -cos k-l a cos k l a đúng. Do đó Tn cosa cos na. 2 Tn x 1 Vx 6 -1 1 . Vì x 1 nên đặt x cosa Tn x Tn cosa cosna 1. 3 .