tailieunhanh - Tài liệu Toán học - Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tính

Mục đích chương này nhằm giúp sinh viên hiểu và nắm được các phương pháp tìm nghiệm đúng, nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình tuyến tính; biết cách ứng dụng các phương pháp trên vào việc tính định thức của ma trận, tìm ma trận nghịch đảo, giải quyết các bài toán thực tế; biết cách đánh giá sai số của từng phương pháp. | CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH MỤC ĐÍCH YÊU CẦU Sau khi nghiên cứu chương 1 yêu cầu sinh viên 1. Hiểu và nắm được các phương pháp tìm nghiệm đúng nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình tuyến tính. 2. Biết cách ứng dụng các phương pháp trên vào việc tính định thức của ma trận tìm ma trận nghịch đảo giải quyết các bài toán thực tế. 3. Biết cách đánh giá sai số của từng phương pháp . MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC . Ma trận Cho ma trận chữ nhật A cấp m x n a11 a12 . a1n a21 a22 . a2n A . . . . am1 am2 . amn ở đây aij là các số thực. Ma trận này có m hàng và n cột. Khi m n ta có ma trận cấp nxn và được gọi tắt là ma trận vuông cấp n. Ma trận vuông cấp n mà mọi phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0 tức là aij aji 0 với i j được gọi là ma trận đường chéo. Nếu ma trận đường chéo có aii 1 thì ta gọi A là ma trận đơn vị và ta thường ký hiệu là E hoặc I. Ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác trên nếu A có dạng a11 a12 . . a1n 0 a22 . . a2n A . . . . 0 0 . . ann Tương tự ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác dưới nếu A có dạng a11 0 . .0 a21 a22 . 0 A . . . . an1 an2 . . ann Ma trận chữ nhật AT cấp n x m được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A cấp m x n nếu a11 a21 . . am1 a12 a22 . . am2 AT . . . . a1n a2n . . amn . Định thức của ma trận Trước khi đưa ra định nghĩa định thức của ma trận chúng tôi giới thiệu khái niệm hoán vị chẵn hoán vị lẻ của một tập hợp n số nguyên 1 2 . n . Cho a i1 i2 . in là một hoán vị của tập 1 2 . n . Ta xét tất cả các cặp ik ih trong đó k h. Nếu ik ih thì ta gọi cặp ik ih là cặp ngược tức là các giá trị ik ih được sắp xếp ngược với k h. Nếu trong a số cặp ngược là chẵn thì ta gọi a là hoán vị chẵn ngược lại thì ta gọi a là hoán vị lẻ. Với mỗi ma trận vuông A cấp n a11 a12 . . a1n a21 a22 . . a2n A . an1 . an2 . . . ann tồn tại một số thực được gọi là định thức của ma trận A ký hiệu là det A được xác định bởi công thức det A E s i1 i2 . in a1ha2i2 .amn a với a i1 i2 . in chạy trong tập tất cả các hoán vị của