tailieunhanh - Bài giảng môn Giải tích 1 - Chương 4: Tích phân

Bài giảng môn "Giải tích 1 - Chương 4: Tích phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng, ứng dụng hình học của tích phân. nội dung chi tiết. | CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN Tích phân bất định Tích phân xác định Tích phân suy rộng Ứng dụng hình học của tích phân Tích phân bất định Nguyên hàm: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trong khỏang (a,b) nếu tại mọi điểm x thuộc (a,b) ta đều có F’(x) = f(x) Từ định nghĩa nguyên hàm ta suy ra: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x)+C cũng là nguyên hàm của hàm f(x) Mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x)+C Định lý: Mọi hàm liên tục trên [a,b] (liên tục và liên tục trái tại b, liên tục phải tại a) thì có nguyên hàm trên [a,b] Tích phân bất định Định nghĩa tích phân bất định : Nếu hàm F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) thì F(x)+C (C: hằng số) được gọi là tích phân bất định của hàm f(x), kí hiệu Tính chất: Tích phân bất định Tích phân bất định Bảng tích phân các hàm cơ bản Tích phân bất định Bảng tích phân các hàm cơ bản Tích phân bất định Phương pháp đổi biến: Thì: Nếu Với φ(t) là hàm khả vi Định lý: Ta kiểm tra lại bằng cách tính đạo hàm vế phải: Ta được hàm dưới dấu tích phân . | CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN Tích phân bất định Tích phân xác định Tích phân suy rộng Ứng dụng hình học của tích phân Tích phân bất định Nguyên hàm: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trong khỏang (a,b) nếu tại mọi điểm x thuộc (a,b) ta đều có F’(x) = f(x) Từ định nghĩa nguyên hàm ta suy ra: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x)+C cũng là nguyên hàm của hàm f(x) Mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x)+C Định lý: Mọi hàm liên tục trên [a,b] (liên tục và liên tục trái tại b, liên tục phải tại a) thì có nguyên hàm trên [a,b] Tích phân bất định Định nghĩa tích phân bất định : Nếu hàm F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) thì F(x)+C (C: hằng số) được gọi là tích phân bất định của hàm f(x), kí hiệu Tính chất: Tích phân bất định Tích phân bất định Bảng tích phân các hàm cơ bản Tích phân bất định Bảng tích phân các hàm cơ bản Tích phân bất định Phương pháp đổi biến: Thì: Nếu Với φ(t) là hàm khả vi Định lý: Ta kiểm tra lại bằng cách tính đạo hàm vế phải: Ta được hàm dưới dấu tích phân vế trái tức là định lý được chứng minh Định lý trên là cơ sở của 2 cách đổi biến thường gặp sau đây Tích phân bất định Phương pháp đổi biến 1: Đặt x = φ(t), φ(t) là hàm khả vi và có hàm ngược t= φ-1(x) thì ta có Nếu nguyên hàm của f(φ(t))φ’(t) là G(t) thì Ví dụ: Tính tích phân Đặt x = sint thì và Tích phân bất định Phương pháp đổi biến 2: Đặt u = φ(x), du=φ(x)dx và giả sử với Thì Ví dụ: Tính Đặt Tích phân bất định Ví dụ: Tính Đặt Ví dụ: Tính Đặt u = 2x+1 Tích phân bất định Phương pháp tích phân từng phần: Định lý: Cho các hàm u(x), v(x) khả vi và u(x), v’(x) có nguyên hàm trên (a,b). Khi ấy hàm u’(x), v(x) cũng có nguyên hàm trên (a,b) và ta có Đẳng thức trên tương đương với: Đẳng thức này hiển nhiên đúng theo công thức đạo hàm của tích Ta còn viết CT trên ở dạng Tích phân bất định Ví dụ: Tính Đặt u=arcsinx, dv=dx Ví dụ: Tính Đặt Tích phân bất định Ví dụ: Tìm công thức truy hồi cho tích phân Vậy: Tích phân bất định Với n=1: Với n=2: Tích phân bất định 1. Tích phân phân thức đơn giản .