tailieunhanh - Bài giảng môn Giải tích 1 - Chương 4: Phương trình vi phân (p2)

Bài giảng môn "Giải tích 1 - Chương 4: Phương trình vi phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng, phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng thuần nhất, bài tập hệ phương trình vi phân cấp 2. nội dung chi tiết. | Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng Định nghĩa: PT vp tuyến tính cấp n hệ số hằng là ptvp có dạng PT (1) gọi là pt thuần nhất Trong đó a1,a2 , , an là các hằng số thực PT (2) gọi là pt không thuần nhất Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng Hệ hàm độc lập tuyến tính trên (a,b) Hệ {y1(x), y2(x), , yn(x)} được gọi là độc lập tuyến tính trong (a,b) nếu từ đẳng thức λ1y1(x)+λ2y2(x)+ +λnyn(x)=0 Ta suy ra λ1= λ2 = = λn=0 Định thức Wronski của các hàm y1(x), y2(x), , yn(x) có đạo hàm đến cấp (n-1) trong (a,b) là Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng Định lý: Cho các hàm y1(x), y2(x), , yn(x) có đạo hàm đến cấp (n-1) trong (a,b). Nếu thì hệ trên đltt trong (a,b) Ví dụ: 2 hàm y1(x) = ex , y2(x) = xex đltt với mọi x Ta đi tính định thức Wronski của 2 hàm đã cho Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng thuần nhất Ta đi tìm nghiệm của (1) ở dạng Thay vào (1) : Vậy hàm là nghiệm của pt (1) khi và chỉ khi k là nghiệm của pt (3) (3) Ta gọi pt (3) là pt đặc trưng của pt (1) Cấu trúc nghiệm: . | Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng Định nghĩa: PT vp tuyến tính cấp n hệ số hằng là ptvp có dạng PT (1) gọi là pt thuần nhất Trong đó a1,a2 , , an là các hằng số thực PT (2) gọi là pt không thuần nhất Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng Hệ hàm độc lập tuyến tính trên (a,b) Hệ {y1(x), y2(x), , yn(x)} được gọi là độc lập tuyến tính trong (a,b) nếu từ đẳng thức λ1y1(x)+λ2y2(x)+ +λnyn(x)=0 Ta suy ra λ1= λ2 = = λn=0 Định thức Wronski của các hàm y1(x), y2(x), , yn(x) có đạo hàm đến cấp (n-1) trong (a,b) là Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng Định lý: Cho các hàm y1(x), y2(x), , yn(x) có đạo hàm đến cấp (n-1) trong (a,b). Nếu thì hệ trên đltt trong (a,b) Ví dụ: 2 hàm y1(x) = ex , y2(x) = xex đltt với mọi x Ta đi tính định thức Wronski của 2 hàm đã cho Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng thuần nhất Ta đi tìm nghiệm của (1) ở dạng Thay vào (1) : Vậy hàm là nghiệm của pt (1) khi và chỉ khi k là nghiệm của pt (3) (3) Ta gọi pt (3) là pt đặc trưng của pt (1) Cấu trúc nghiệm: Nếu y1(x), y2(x) là 2 nghiệm riêng đltt của thì NTQ của pt () là ytn=C1y1(x)+C2y2(x) Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng thuần nhất Pt thuần nhất : Pt đặc trưng : (3) TH 1: (3) có 2 nghiệm thực TH 2: (3) có 1 nghiệm thực TH 3: (3) có cặp nghiệm phức liên hợp NTQ của pt thuần nhất là đltt đltt đltt Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng thuần nhất Ví dụ: Tìm NTQ của các pt Phương trình tt cấp cao hệ số hằng thuần nhất Tương tự cho các pt tuyến tính cấp cao hệ số hằng thuần nhất. Ta sẽ làm với ví dụ sau Ví dụ: Tìm NTQ của các pt Ta gọi ytn là nghiệm tổng quát của pt thuần nhất () và yr là 1 nghiệm riêng của pt không thuần nhất () Thì NTQ của pt không thuần nhất () là ytq=ytn+yr Cấu trúc nghiệm của pt không thuần nhất Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất NTQ của pt thuần nhất () là ytn ta đã tìm ở trên Ta chỉ cần tìm 1 nghiệm riêng của pt không thuần nhất là yr Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất Trường hợp đặc biệt : f(x) có thể viết dưới dạng Ta sẽ viết .