tailieunhanh - Bài giảng môn Giải tích 1 - Chương 4: Phương trình vi phân
Bài giảng môn "Giải tích 1 - Chương 4: Phương trình vi phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Phương trình vi phân cấp 1, phương trình vi phân cấp cao, hệ phương trình vi phân. nội dung chi tiết. | CHƯƠNG V : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN I. Phương trình vi phân cấp 1 II. Phương trình vi phân cấp cao III. Hệ phương trình vi phân Phương trình vi phân cấp 1 – Khái niệm chung Bài toán 1: Tìm tất cả các đường cong y=f(x) sao cho trên mỗi đoạn [1,x], diện tích hình thang cong bị chắn bởi cung đường cong bằng tỉ số giữa hoành độ x và tung độ y. A B Nhìn hình vẽ, ta có Ta gọi đây là phương trình vi phân cấp 1(phương trình chứa đạo hàm cấp 1 là y’) Phương trình vi phân cấp 1– Khái niệm chung Bài toán 2: Một vật khối lượng m rơi tự do với lực cản của không khí tỉ lệ với vận tốc rơi. Tìm mối liên hệ giữa thời gian rơi t & quãng đường đi được của vật s(t) Gọi v(t) là vận tốc rơi của vật thì Theo định luật 2 Newton, ta có Trong đó là trọng lực là lực cản của không khí, α>0 là hệ số cản Thay a, F, F1, F2 vào phương trình (2) ta được Ta gọi đây là ptvp cấp 2 (chứa đạo hàm cấp 2 là s”) Phương trình vi phân cấp 1– Khái niệm chung Định nghĩa 1: Phương trình vi phân là phương trình chứa đạo hàm hoặc vi . | CHƯƠNG V : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN I. Phương trình vi phân cấp 1 II. Phương trình vi phân cấp cao III. Hệ phương trình vi phân Phương trình vi phân cấp 1 – Khái niệm chung Bài toán 1: Tìm tất cả các đường cong y=f(x) sao cho trên mỗi đoạn [1,x], diện tích hình thang cong bị chắn bởi cung đường cong bằng tỉ số giữa hoành độ x và tung độ y. A B Nhìn hình vẽ, ta có Ta gọi đây là phương trình vi phân cấp 1(phương trình chứa đạo hàm cấp 1 là y’) Phương trình vi phân cấp 1– Khái niệm chung Bài toán 2: Một vật khối lượng m rơi tự do với lực cản của không khí tỉ lệ với vận tốc rơi. Tìm mối liên hệ giữa thời gian rơi t & quãng đường đi được của vật s(t) Gọi v(t) là vận tốc rơi của vật thì Theo định luật 2 Newton, ta có Trong đó là trọng lực là lực cản của không khí, α>0 là hệ số cản Thay a, F, F1, F2 vào phương trình (2) ta được Ta gọi đây là ptvp cấp 2 (chứa đạo hàm cấp 2 là s”) Phương trình vi phân cấp 1– Khái niệm chung Định nghĩa 1: Phương trình vi phân là phương trình chứa đạo hàm hoặc vi phân của 1 hoặc vài hàm cần tìm Định nghĩa 2: Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có trong phương trình Ví dụ: Ptvp cấp 1: Ptvp cấp 2 : Ptvp cấp 3 : Phương trình vi phân cấp 1– Khái niệm chung Định nghĩa 3: Nghiệm của phương trình vi phân trên khoảng (a,b) là một hàm số y=y(x) sao cho khi thay vào phương trình ta được một đồng nhất thức trên (a,b) (đẳng thức luôn đúng với mọi x trên (a,b)) Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n là hoặc giải ra với y(n) là Đồ thị của hàm số y=y(x) được gọi là đường cong tích phân của ptvp Ví dụ: Nghiệm của ptvp là hàm số Phương trình vi phân cấp 1– Khái niệm chung Dạng tổng quát của ptvp cấp 1: hoặc: Bài toán Cauchy: là bài toán tìm nghiệm của ptvp (1) hoặc (2) thỏa điều kiện đầu Hay nói cách khác là tìm 1 đường cong tích phân của ptvp (1) hoặc (2) đi qua điểm (x0,y0) Ví dụ: Tìm nghiệm của ptvp thỏa điều kiện y(1)=1 Ta có : Với x=1, y=1 ta thay vào đẳng thức trên và được C=0 Vậy nghiệm của bài toán là Phương trình vi phân cấp 1
đang nạp các trang xem trước
