tailieunhanh - Bài giảng Giải tích 1: Phương trình vi phân cấp 2

Bài giảng "Giải tích 1: Phương trình vi phân cấp 2" cung cấp cho người học các kiến thức: Bài toán Cauchy, PTVP tuyến tính cấp 2, nguyên lý chồng chất nghiệm, giải phương trình thuần nhất, PP hệ số bất định tìm yr,. nội dung chi tiết. | PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 BÀI TOÁN CAUCHY Tìm nghiệm của phương trình F(x, y, y’, y”) = 0 (1) hoặc: y” = f(x, y, y’) (2) thỏa điều kiện ban đầu : y(x0) = y0 y’(x0) = y1 Lưu ý: nghiệm tổng quát của ptvp cấp 2 có 2 hằng số tự do, cần 2 điều kiện để tìm 2 hằng số này. Ví dụ Tìm nghiệm bài toán: y” = x2 (1) y(0) = 1, y’(0) = -2 (2) (2), (3) C1 = -2 (2), (4) C2 = 1 (3) (4) Vậy nghiệm bài toán là: MỘT SỐ PTVP CẤP 2 GIẢM CẤP ĐƯỢC LOẠI 1: pt không chứa y : F(x, y’, y”) = 0 Cách làm: đặt p = y’ đưa về ptvp cấp 1 theo p, x LOẠI 2: pt không chứa x: F(y,y’,y”) = 0 Cách làm: đặt p = y’ đưa về pt cấp 1 theo hàm p và biến y LOẠI 3: F thỏa F(x,ty,ty’,ty”) = tnF(x,y,y’,y”) Cách làm: đặt y’ = yz đưa về pt theo x, z Ví dụ Pt không chứa y, đặt Pt trở thành: Với p 0 p = 0 y’ = 0 y = C Pt không chứa x Đặt y’ = p (xem y là biến) Pt trở thành: x2yy” – (y – xy’)2 = 0 x2 ty ty” – (ty – x ty’)2 = t2[x2yy” – (y – xy’)2 Đặt y’ = yz y” = y’z + yz’ = yz2 + yz’ Pt trở thành: (Tuyến tính ) PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 2 y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x) (1) p(x), q(x), f(x) liên tục y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 Phương trình thuần nhất Cấu trúc nghiệm pt không thuần nhất: y0 là nghiệm tổng quát của pt thuần nhất, yr là 1 nghiệm riêng của pt không thuần nhất y = y0 + yr Nguyên lý chồng chất nghiệm Nếu y1 và y2 lần lượt là các nghiệm của pt y” + p(x)y’ + q(x)y = f1(x) y” + p(x)y’ + q(x)y = f2(x) thì y1 + y2 là nghiệm của pt y” + p(x)y’ + q(x)y = f1(x) + f2(x) Giải phương trình thuần nhất Nếu y1 và y2 là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của pt thuần nhất y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 nghiệm tổng quát của pt này là y0 = C1y1 + C2y2 Nếu biết trước 1 nghiệm y1 0, y2 được tìm như sau Ví dụ Giải pt: x2y” – xy’ + y = 0, biết pt có 1 nghiệm y1 = x p(x) = – 1/x y0 = C1x + C2xln|x| Giải pt: (1+x2)y” + 2xy’ – 2y = 4x2 + 2 (1) biết phương trình có 2 nghiệm y = x2 và y = x + x2 y = x2 và y = x + x2 là 2 nghiệm của (1) y1 = (x + x2) – x2 là nghiệm của pt thuần nhất y1 = x Lưu ý: pt đã cho là pt không thuần nhất y0 = C1x | PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 BÀI TOÁN CAUCHY Tìm nghiệm của phương trình F(x, y, y’, y”) = 0 (1) hoặc: y” = f(x, y, y’) (2) thỏa điều kiện ban đầu : y(x0) = y0 y’(x0) = y1 Lưu ý: nghiệm tổng quát của ptvp cấp 2 có 2 hằng số tự do, cần 2 điều kiện để tìm 2 hằng số này. Ví dụ Tìm nghiệm bài toán: y” = x2 (1) y(0) = 1, y’(0) = -2 (2) (2), (3) C1 = -2 (2), (4) C2 = 1 (3) (4) Vậy nghiệm bài toán là: MỘT SỐ PTVP CẤP 2 GIẢM CẤP ĐƯỢC LOẠI 1: pt không chứa y : F(x, y’, y”) = 0 Cách làm: đặt p = y’ đưa về ptvp cấp 1 theo p, x LOẠI 2: pt không chứa x: F(y,y’,y”) = 0 Cách làm: đặt p = y’ đưa về pt cấp 1 theo hàm p và biến y LOẠI 3: F thỏa F(x,ty,ty’,ty”) = tnF(x,y,y’,y”) Cách làm: đặt y’ = yz đưa về pt theo x, z Ví dụ Pt không chứa y, đặt Pt trở thành: Với p 0 p = 0 y’ = 0 y = C Pt không chứa x Đặt y’ = p (xem y là biến) Pt trở thành: x2yy” – (y – xy’)2 = 0 x2 ty ty” – (ty – x ty’)2 = t2[x2yy” – (y – xy’)2 Đặt y’ = yz y” = y’z + yz’ = yz2 + yz’ Pt trở thành: (Tuyến tính ) PTVP .