tailieunhanh - Bài giảng Giải tích 1: Khai triển Taylor

Bài giảng "Giải tích 1: Khai triển Taylor" cung cấp cho người học các kiến thức: Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange, Khai triển Maclaurin các hàm cơ bản, bảng công thức KT Maclaurin cơ bản,. nội dung chi tiết. | KHAI TRIỂN TAYLOR Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange f có đạo hàm cấp n+1 trong (a, b) chứa x0: (khai triển Taylor đến cấp n trong lân cận x0) c nằm giữa x và x0 Công thức khai triển Taylor với phần dư Peano f có đạo hàm cấp n tại x0: Phần dư Peano. x0 = 0: khai triển Maclaurin. Ý nghĩa của khai triển Taylor f(x): biểu thức phức tạp cần tìm 1 hàm số đơn giản hơn và gần bằng f(x) để thuận tiện trong tính toán. Hàm đơn giản nhất là đa thức. f(x) = sinx f(x) = sinx f(x) = sinx f(x) = sinx Ví dụ 1. (khai triển f thành đa thức theo lũy thừa của (x – 1) đến (x – 1)3) Với phần dư Peano, chỉ cần tính đến đh cấp 3. Với phần dư Lagrange, phải tính đến đh cấp 4. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho Phần dư Peano Nếu dùng phần dư Lagrange: Ví dụ 2 Viết khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho f(x) = tan x Ví dụ 3 Biết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = -1, f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1) Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên f(4)(x) = 0 Khai triển Taylor của f đên cấp 3 không có phần dư. Biết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = -1, f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1) Khai triển Maclaurin các hàm cơ bản (x0 = 0) Áp dụng cho = - 1. Lưu ý cho hàm sin x f(2n)(0) = 0 hệ số của x2n là 0. Bảng công thức kt Maclaurin cơ bản Khai triển Maclaurin của arctan và hyperbolic Giống sinx, cosx nhưng không đan dấu Giống sinx, nhưng mẫu số không có giai thừa. Lưu ý về thay tương đương cho sinh, cosh bậc cao hơn x (khi x→0) Ví dụ áp dụng 1. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho: x0 = 1 0, đặt biến phụ : u = x – x0 = x – 1 Trả về biến cũ: 2. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho: u = x – 1 Sai! (u + 2) 0 khi u = 0 (hay x = 1) Nhớ trả về x 3. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho: Lưu ý: khi khai triển cho f+g, mỗi hàm phải khai triển đến bậc được yêu cầu. 4. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho: Khi tích các khai triển, chỉ giữ lại tất cả các lũy thừa từ bậc yêu cầu trở xuống và xếp thứ . | KHAI TRIỂN TAYLOR Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange f có đạo hàm cấp n+1 trong (a, b) chứa x0: (khai triển Taylor đến cấp n trong lân cận x0) c nằm giữa x và x0 Công thức khai triển Taylor với phần dư Peano f có đạo hàm cấp n tại x0: Phần dư Peano. x0 = 0: khai triển Maclaurin. Ý nghĩa của khai triển Taylor f(x): biểu thức phức tạp cần tìm 1 hàm số đơn giản hơn và gần bằng f(x) để thuận tiện trong tính toán. Hàm đơn giản nhất là đa thức. f(x) = sinx f(x) = sinx f(x) = sinx f(x) = sinx Ví dụ 1. (khai triển f thành đa thức theo lũy thừa của (x – 1) đến (x – 1)3) Với phần dư Peano, chỉ cần tính đến đh cấp 3. Với phần dư Lagrange, phải tính đến đh cấp 4. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho Phần dư Peano Nếu dùng phần dư Lagrange: Ví dụ 2 Viết khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho f(x) = tan x Ví dụ 3 Biết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = -1, f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1) Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên f(4)(x) = 0 Khai triển Taylor