tailieunhanh - Giáo trình Giải tích Toán học: Tập 1 (Phần 2) - GS. Vũ Tuấn

Dưới đây là phần 2 của cuốn giáo trình Giải tích Toán học: Tập 1, giáo trình trang bị cho các bạn những kiến thức về phép tính vi phân của hàm số một biến số; tích phân. Với các bạn chuyên ngành Toán học và những bạn quan tâm tới lĩnh vực này thì đây là tài liệu hữu ích. | Chương V PHEP TINH VI PHAN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN số A. ĐẠO HÀM 1. KHÁI NIỆM Cơ BẢN 1. Định nghĩa Đinh nghĩa . Chu hàm sớ y f ự Kãc đinh trên khoảng a. b và V e ứ. h . Nếu tổn tại giới hạn hữu hạn Awfliv V 0 Av thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y - fị tại điểm _vv và kí hiệu Là Ihay y . Thí ílu Tính đao hàm cùa hàm sb V tại điểm V. - _ u 3 J n . ì n . Ỵ rt . Aa ì . Ar Cỉiái. Ay cos Av - cos -2 sin - sin 1 3 J 3 1 3 2 2 Ax Av Av 71 3 Ay . Ị K Ar x sin 2 . Tĩ yjĩ y lim - - lim sin - . - sin --. 3 A 0 Av - 3 2 Al 3 2 2. Đạo hàm một phía a Định nghĩa Ncu tồn tại giói hạn hữu hạn bỡn phả 10S Ilm 4 lim Al - 0 Av Al 0 Av thì giới hạn đó dưoc gọi là dạo ham hên phái cúa hàm sò y f x tai điểm A o và kí hiệu là f x hay y v0 . Ai - Av Định nghĩa tưưng ự đạo hàm bén trái cùa V A I tại điểm A là giời hạn hữu han hèn trái nêu có r J llm Al Av b Chú ý. Từ tính chât giói hạn một phía đinh lý ra suy ra ngay rằng Ham số y A có đạo hàm tại Aq khi và chi khi các đạo hàm phải và trái tốn tai và băng nhau. 3. Đạo hàm trén một khoáng Định nghĩữ . Hàm số y a được gọi là ró dạo hàm trên khoáng ịa h nếu nó có dao hàm tại mọi diem trên khoảng đó. Hàm số y a được gọi là có dạo hàm trên đoạn fa h nếu nó có đạo hàm trân khoáng a h và có đạo hàm phái tại d và dạo hàm trái tại h. 4. Quan hệ giữa sự tôn tại đạo hàm và tính liên tục của hàm sỏ Định lý . Nốu hàm sô y .v có d io hàm tại diếm A o thì nó licn tuc lai diêm dó. 1 có đạo hàm tại A a liên tục tại A Chứng minh. Ta có lim Ay lim .v 1 Av - a 1 lim .Av Al 0 Al- 0 Al 0 Av A .0 0. Vậy y - a lien tục tại A . Ini y. Dicu ngược lại không đúng. Mọt hàm số liên tục tụi một điếm A J có thể không có dạo hàm tại điểm dó. 109 Thi dụ. Hàm sớ f x X2 nếu A 0 . liên tục tại .í 0 vì .V nếu A 0 lim f x lim .V2 -0 7 0 lim a - lim t 0 0 . - tr Nhưng khóng có đạo hàm tại điém này. Thật vây 0 Aa - 7 0 Ax lim lim - 1 Ak D Aa Ar- 0 Aa n- i m 0 Ax - 0 . Av 0 - lim--------- ------ lim - lim Ar o A - Av m- Ax Av- 0 -- 0