tailieunhanh - Ebook Bài tập giải tích (Tập 3: Tích phân phụ thuộc tham số - Tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt - In lần thứ 6): Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1 cuốn sách "Bài tập giải tích (Tập 3: Tích phân phụ thuộc tham số - Tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt)" do NXB ĐH Quốc gia Hà Nội ấn hành, phần 2 giới thiệu tới người đọc phương pháp giải các bài tập tại phần 1. Mời các bạn tham khảo. | MATH-EDUCARE ĐÁP SỐ VÀ LỜI GIỎI 1044. Vì hàm dưỏĩ dấu tích phân f x y Ợx2 y2 liên tục theo hai biến x y trong hình chũ nhát -1 1 X - S ô 0 nên tích phán là hàm hên tục theo tham sốy. Do đó ta có 1045. Hàm f x y ------- ----- hên tục trong hình chữ nhật 1 x 4-y 0 1 X -Ô 5 ỗ 0 còn các hàm a y y p y 1 y hên tục trên đoạn -Ô 0 vì vậy tích phân phụ thuộc tham sô là hàm liên tục theo y trong đoạn -Ô 6 Do dó ta có 1 ĩ f7 dx f dx lim T----------4 T T arctgx V 0 1 4- 4- V 1 4- V y x A I 1 A n arctgl . 0 4 1046. Chú ý rằng f x y sgn x y nếu nếu nếu x y 0 Với X e 0 1 nếu y 0 thì X y do đó f x y - 1-nếu y 1 thì X y do đó f x y -1. Từ đó ta có L Nếu y 0 F y 1 0 Nếu y 1 F y J -l dx -l 0 97 MATH-EDUCARE Nếu OốyẨl F y í L . 8gn x-y dx J -l dx J Idx -y l-y l-2y 0 0 y Từ đó suy ra F y là hàm liên tục với mọi y e -00 oc 1047. Vì f t là hàm liên tục trên đoạn a b nên tổn tại nguyên hàm F t trên đoạn đó. Với mỗi h cố định F t h là nguyên hàm của hàm f t h te a -h b - h . Theo công thức Newton - Leibniz với I h I đủ bé ta có J f t h -f t dt F x h - F x - F a h F a . Vì vậy lim ỉ f f t h - f t dt lim F x _ lim F a h F h - 0 h J hVÕ h h-d 0 h f K - f a . 1048. a Giả sử y 0 chẳng hạn y 0. Xét hình chữ nhật 0 1 X c dj sao cho 0 c y d. Trong hình chữ nhật này các điều kiện để áp dụng qui tắc Leibniz thỏa mãn. Do đó r y iarctg dx f- -arctg-dx đyỉ y i y y _f-xdx 1 y2 ix3 y2 Với y 0 ta có kết quả tương tự. 98 MATH-EDƯCARE k__K smxv A b Chú ý ràng inn - -á y cho nên X 0 không phải là điểm kỳ dị cùa Uch phân. Già sử y là điểm tùy ý Ta xét hình chữ nhật a b X c d sao cho c y. d- Trong hình chữ nhật a b X ct d tích phân I y 7 dx x thôa mần các điểu kiện dể lấy đạo hàm theo tham số và ta có X h f . sin b y .yn sin a yo .yn r y0 cosxy dx -----u --------- 7 ----- b yo a yo c Già sử y 0 chàng hạn y 0. Xét hình chữ nhật 0 1 X c d sao cho 0 c y d. Trong hình chũ nhật này ta có thể áp dụng được cõng thửc Leibniz và ta có I y ịìn x2 y2 dx f -ln x2 y2 dx dy J ổy