tailieunhanh - Ebook Bài tập giải tích hàm: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Bài tập giải tích hàm" giới thiệu tới người đọc các bài tập về: Các không gian Lp, phổ của toán tử và toán tử Compăc, không gian hinbe. nội dung chi tiết. | MATH-EDUCARE Chương IV CÁC KHÔNG GIAN Lp A - ĐÈ BÀI 1. Chứng minh định lí Lơbegơ vé hội tụ bị chặn Già sử f là một dây hàm số phức đo được trèn tập hợp X thỏa mãn các điểu kiện sau a f x với mọi X e X n 00 b I fn x í g x vôi mọi X E X và với mọi n trong đó g là một hàm số khả tích trên X. Khỉ đó hàm số f khả tích trên X và lim Ị 1 fn - f 4 - 0. IT- X Từ đó sưy ra lim ĩ fn4 íty. n- X X 2. Chứng minh định lì Rađóng - Nikôđôm Giả sừ là một độ đo ỡ hữu hạn xác định trên ỡ-đại số 7K những tập hợp con của X vả V 7K - c là một hàm sổ phức ơ-cộng tính tức là với mọi dãy tập hợp đo được lEnl đôi một OC X rời nhau ta đéu cố rfUEj HE . Khi đó n-1 n 1 Nếu V là liên tục tuyệt đổi đối với ạt tức là v E 0 với mọi tập hợp đo được E mà í E 0 thỉ tổn tạỉ một hàm số phức g do được trẽn X sao cho v E Ị gt 4 với mọi E e E BTGTH - Tlĩ 161 MATH-EDUCARE g được xác định một cách duy nhãt nếu đống nhất hai hàm số tương đương. 3. Chứng minh ràng bất đảng thức Hơnđơ trở thành đảng thức khi và chỉ khi tồn tại hai số a b không âm không đống thời bằng không sao cho a f x p b g x r . 4. Chứng minh rằng bất đảng thức Minkôpxki trong không gian vớì 1 p 00 trà thành đảng thức khi và chỉ khi tổn tại haì sô thực không âm không đồng thời bàng không a và b sao cho a f x b g x n. 5. Chứng minh ràng nếu limfn f trong không gian LPỌẠ n- w với 1 p oo thì dây fn hội tụ theo độ đo đến f. Từ đo suy ra ràng Nếu lim fn f trong không gian LpỢí với 1 p OQ thì n X dãy hãm số fní có một dây con fk hội tụ h . k n. đến n hàm số f. 6. Cho là một độ đo hữu hạn. Chứng minh rằng a L ặí c Lp u với mọi p ỉ và l f L limjịf n với mọi f e Lxợo n b L n LPQO. 1 í p oc 7. Già sử Q là một tập hợp compác đo được L trong không gian Rm. Chứng minh rằng khống gian Lp fì với ỉ s p là khả li. . Ăp dụng định lí và định lí Vâyơxtrat vẽ xấp xỉ cãc hàm số líén tục bời những đa thức 162 MATH-EDƯCARE Nếu t là một hàm sỗ liên tục trên một tập hợp compác fì trong không gian Rm thì tốn tại