tailieunhanh - Giáo trình môn Toán rời rạc: Phần 2

Giáo trình môn Toán rời rạc: Phần 2 được biên soạn nhằm cung cấp cho các bạn những kiến thức về một số bài toán tối ưu trên đồ thị; cây; đồ thị phẳng và tô màu đồ thị; đại số Boole (khái niệm, hàm Boole, mạch lôgic, cực tiểu hoá các mạch lôgic). | CHƯƠNG V MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN ĐỒ THỊ . ĐỒ THỊ CÓ TRỌNG SỐ VÀ BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT. . Mở đầu Trong đời sống chúng ta thường gặp những tình huống như sau để đi từ địa điểm A đến địa điểm B trong thành phố có nhiều đường đi nhiều cách đi có lúc ta chọn đường đi ngắn nhất theo nghĩa cự ly có lúc lại cần chọn đường đi nhanh nhất theo nghĩa thời gian và có lúc phải cân nhắc để chọn đường đi rẻ tiền nhất theo nghĩa chi phí . Có thể coi sơ đồ của đường đi từ A đến B trong thành phố là một đồ thị với đỉnh là các giao lộ A và B coi như giao lộ cạnh là đoạn đường nối hai giao lộ. Trên mỗi cạnh của đồ thị này ta gán một số dương ứng với chiều dài của đoạn đường thời gian đi đoạn đường hoặc cước phí vận chuyển trên đoạn đường đó . Đồ thị có trọng số là đồ thị G V E mà mỗi cạnh hoặc cung eeE được gán bởi một số thực m e gọi là trọng số của cạnh hoặc cung e. Trong phần này trọng số của mỗi cạnh được xét là một số dương và còn gọi là chiều dài của cạnh đó. Mỗi đường đi từ đỉnh u đến đỉnh v có chiều dài là m u v bằng tổng chiều dài các cạnh mà nó đi qua. Khoảng cách d u v giữa hai đỉnh u và v là chiều dài đường đi ngắn nhất theo nghĩa m u v nhỏ nhất trong các đường đi từ u đến v. Có thể xem một đồ thị G bất kỳ là một đồ thị có trọng số mà mọi cạnh đều có chiều dài 1. Khi đó khoảng cách d u v giữa hai đỉnh u và v là chiều dài của đường đi từ u đến v ngắn nhất tức là đường đi qua ít cạnh nhất. . Bài toán tìm đường đi ngắn nhất Cho đơn đồ thị liên thông có trọng số G V E . Tìm khoảng cách d u0 v từ một đỉnh u0 cho trước đến một đỉnh v bất kỳ của G và tìm đường đi ngắn nhất từ u0 đến v. Có một số thuật toán tìm đường đi ngắn nhất ở đây ta có thuật toán do E. Dijkstra nhà toán học người Hà Lan đề xuất năm 1959. Trong phiên bản mà ta sẽ trình bày người ta giả sử đồ thị là vô hướng các trọng số là dương. Chỉ cần thay đổi đôi chút là có thể giải được bài toán tìm đường đi ngắn nhất trong đồ thị có hướng. Phương pháp của thuật toán Dijkstra là xác định tuần tự