tailieunhanh - Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 - ThS. Hoàng Xuân Quảng

Mời các bạn tham khảo giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 do ThS. Hoàng Xuân Quảng biên soạn sau đây để nắm bắt được những kiến thức về không gian vectơ; hệ phương trình tuyến tính và dạng song tuyến tính - dạng toàn phương. | 2 3 A 0 1 1 1 2 1 Ví dụ Tìm ma trận đảo của ma trận v - Vậy Chương III. Không gian vectơ Vectơ n - chiều 1. Định nghĩa Một bộ gồm n số x x1 x2 . xn được gọi là một vectơ n chiều. Số xi được gọi là tọa độ thứ i của vectơ x. Ta có thể coi x như một ma trận cấp 1 x n. Ta cũng có thể coi như một ma trận cấp n x 1 khi đó ta viết 1 x VW Phép cộng vectơ và phép nhân một số với một vectơ tương tự như đối với ma trận. Cụ thể với x x1 x2 . xn y y1 y2 yn và số Ă ta có. x y xi yi x2 y2 . xn yn Ăx Ăxi Ăx2 . Ăxn Vectơ n - chiều 0 0 0 . 0 có tất cả các tọa độ bằng không gọi là vectơ không. Vectơ -x -1 x gọi là vectơ đối của x. Đặt x - y x -y và gọi là hiệu của x và y. Tương tự định lý 1 chương 2 ta có Định lý 1 Với mọi vectơ n - chiều x y z và mọi số Ă p ta có 1. x y z x y z 2. x y y x 3. x 0 x 4. x -x 0 5. x 6. Ă p x Ă x px 7. Ă x y Ă x Ă y 8. Ă px Ă p x 2. Sự phụ thuộc tuyến tính Cho một hệ gồm k vectơ n - chiều v1 v2 . vk Hệ này được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số Ă1 Ă2 . Ăk không đồng thời bằng không sao cho Ă1v1 Ă2v2 . Ăkvk 0 1 Nếu 1 chỉ xảy ra khi Ă1 Ă2 . Ăk thì hệ vectơ gọi là độc lập tuyến tính. Vectơ v được gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ v1 v2 . vk nếu tồn tại các số Ă1 Ă2 . Ăk sao cho v Ă1v1 Ă2v2 . Ăkvk Khi v là một tổ hợp tuyến tính của v1 v2 . vk thì ta cũng nói v biểu thị tuyến tính được qua v1 v2 . vk. Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của vectơ v1 v2 . vk ký hiệu là V1 . V h ____ V 22 -i Vị I Àị G R i l k 1-1 Ví dụ a Hệ ba vectơ e1 1 0 0 s2 0 1 0 s3 0 0 1 là độc lập tuyến tính vì Ă1E1 Ă282 Ă3E3 0 Ă1 Ă2 Ă3 0 0 0 Ă1 Ă2 Ă3 0 b Hệ V1 1 1 1 v2 0. 1. 1 v3 1 2 2 là phụ thuộc tuyến tính vì 1. 1 1 1 1. - 1. 1 2 2 0 Định lý 2 Cho hệ vectơ n - chiều V1 v2 . vk. Khi đó 1. Nếu k 1 và v1 0 thì hệ độc lập tuyến tính. 2. Nếu hệ độc lập tuyến tính thì mọi vi 0 3. Nếu một bộ phận của hệ là phụ thuộc tuyến tính thì hệ thụ thuộc tuyến tính. 4. Nếu hệ độc lập tuyến tính thì mọi bộ phận của hệ đều độc lập tuyến tính. 5. Nếu k 1 thì hệ phụ thuộc .