tailieunhanh - Giáo trình Lý thuyết độ đo và tích phân: Phần 1 - Lương Hà

Phần 1 cuốn giáo trình "Lý thuyết độ đo và tích phân" giới thiệu tới người đọc các kiến thức phần 1 - Độ đo bao gồm: Đại số tập hợp, độ đo trên một đại số tập hợp, thác triển độ đo, độ đo trên IRk, hàm số đo được. Cuối chương có phần câu hỏi và bài tập ôn tập để người học ôn tập và củng cố kiến thức. | -à. ĐẠI HỌC HUẾ TRUNG TAM Đào tạo Từ xa a .5 ___ -LƯƠNG HÀ A - -JL - r l THUYET ĐO Ị. fc - . r- TÍCH PHAN 1. 4 L _ NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC HUẾ I MATH-EDƯCARE ĐẠI HỌC HUẾ TRUNG TẮM ĐÀO TẠO TỪ XA LƯƠNG HÀ GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN NHÀ XUẤT BÀN ĐẠI HỌC HUẾ - 2006 MATH-EDƯCARE Lèn NÓI ĐẦƯ CỦA TÁC GIẢ Lý thuyết độ đo và tích phân là một phần quan trọng trong lý thuyêt hàm số biến sô thực mà cùng với giải tích hàm làm nền tảng cho kiến thức toán học của sinh viên cũng như những người làm toán. Người học chắc hản sẽ cảm thấy khó khăn khi mởí học tập bộ môn nầy bởi vì tinh chất trừu tượng cao độ của nó và cứng vì một phần các phần tử được xét đến thường là nhửng tập hợp. Do đó để học tốt bộ môn này người học phải có kiến thức căn bàn về lý thuyết tập hợp bao gồm cả những kiến thức về lực lượng của tập hợp. Có nắm được phần lý thuyết trong giáo trình mới có thể giải được những bài tập mang tính lý thuyết cùng như xây dựng những phản thí dụ. Ngoài ra việc ôn lạì những kiến thưc của giải tích cổ điển về tích phân Riemann sự hội tụ đều của dãy hàm cùng rất cần thiết. Độ đo được xây dựng trên một đại số tập hợp mà nhưng phần tử của nó có bản chất túy ý. Nhừng kết quả đáng chú ý nhất là quá trình mở rộng tiêu chuẩn một độ đo. Áp dụng quá trình đó người ta xây dựng độ đo Lebesgue trên ỈR Độ đo này có những tính chất cơ bàn như đủ ơ-hữu hạn bất biến đốì với các phép dời hình và độ đo của mồi gian trùng với thể tích của gian đó. Dù vậy vẫn tồn tại nhửng tập hợp không đo được đối vói độ đo Lebesgue trên Zfík. Thực ra người ta đả chững minh được rằng không thể tồn tại một độ đo trên ífíksao cho độ đo đó xác định trên ơ-đạì số tất cả các tập con của IRk ơ-hiĩu hạn bất biến đói với các phép dời hình và độ đo cùa mổi gian trùng với thể tích cúa gian đó. Dùng độ đo Lebesgue nhà toán học H. Lebesgue lần đầu tiên đâ chứng minh được tiêu chuẩn để một hàm khả tích Riemann trên một hình hộp đóng và bị chặn Acủa IRk là hàm đó phải bị chặn và liên tục hầu khắp .