tailieunhanh - Ebook Đại số tuyến tính - Phan Huy Thiện

Cuốn sách "Đại số tuyến tính" cung cấp cho người học các kiến thức về cấu trúc của tự đồng cấu tuyến tính, không gian véc tơ Euclid, dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, hình học giải tích. . | MATH-EDUCARE Chương 1 Cấu trúc của tư đồng cấu tuyến tính Chúng ta đã biết rằng mơi đồng cấu Luyến lính của không gian hữu hạn chiều tương ứng 1-1 với ma trận xác định nó- Vì vậy việc nghiên cứu cấu trúc cùa tự đồng cấu có thể chuycn sang vice nghiên cứu cấu trúc của ma trận xác định nó Mục đích của chương này là tìm cho mỗi ự đồng cấu một cơ sở sao cho ma trận của nó cớ lạng lơn giản. 1 .1 Véc tơ riêng giá tri riêng Định nghĩa . Chơ f V V là một tự long cấu cùa A -khỡỉỉg gian VÓC tơ V. Không gian cơn Í7 của V được gợi là mội không gian con bất biến ciìa f hay không gian con ôn định cùa nếu c u. Ví dụ. Chơ . V ỉà một tự dồng cấu tuyến Lính. Khi dó các không gian con sau dây ủa V Là - bất. biến V Kcr Im . Nhận xét. i Giả sử u là một không gian cơn bất biến cúa f V lz Khi đó lơ u - u í ĩ là tnộí tự dồng cấu. ___ íỉ Giả sứ L Q V à không gian con bai biến 1-chiều cùa lự dong cấn 1 uyếii tính f V Chơ . 3- 7 0. Khi dó. J ỉ C b . Vì vậy cớ X A sa chơ ídự Ar 1 MATH-EDUCARE Ngược lại noil có .r Ạ 0 ĩ c V và có À 6 K sao cho .r Xx thì Vy M X chúng ta có y A . Vì vậy Aí là không gian X n bất bicn 1-chiền của f. Định nghĩa . Giả sử f V V là một l ự dồng can tuyến tính cùa K-không gian véc tơ V. Một phần tử À í được gọi là một giá trị riêng của f nếu có một véc tơ X G V X 0 sao cho ĩ Ax. Véc tơ X được gọi Là một véc lơ riêng của f ứng với gía trị riêng A. Ví dụ. 1 Phép đồng nhất idv V V V 0 chi có một giá trị riêng là 1 và mọi véc tư khác không đều là véc tơ riêng. 2 Tự đồng cấu không 0 V V V 0 chì có một giá trị riêng la 0 và mọi véc l. jf khác không đều là véc tơ riêng. Nhận xét. i Giả sử A là một giá trị riêng cua tự đồng cấu V V. Các véc tơ riêng của f ứng với giá trị riêng A cùng với véc tơ làm thành không gian vóc tơ COỈ cùa V viết là Ker Xứỉự . Không gian véc tơ COI này tược gọi là không gĩítn con riêu Ị Cìỉa f ứng với giá trị Tiêng A. ii A Ị là một giá trị riêng cYia tự đồng cấu f V V khi và chỉ khi Ker - Aií y 0 . iii Giá str climV n