tailieunhanh - Giáo trình Giải tích I: Phần 2 - Trần Bình

Giáo trình Giải tích I: Phần 2 gồm nội dung chương 5 đến chương 7 tài liệu có nội dung trình bày về tích phân bất định, tích phân xác định, hàm nhiều biến số. Cuối mỗi chương có bài tập và hướng dẫn trả lời giúp sinh viên ứng dụng kiến thức lí thuyết được học. | Chưimg 5 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH ộl. KHÁI NIỆM VỂ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Ta đã xét bài toán quan trọng Cho trước một hàm số ùm đạo hàm cùa nó trong chương dạo hàm. Trong chương này ta xét bài toán ngược lại có tầm quan trọng ríìiì lớn trong thực tiền là Cho trước một hàm số. tìm một hàm số khác có dạo hàm là hàm số áy Thí dụ Đo thí nghiệm ta biết dược gia tốc a của một chuyển động thẳng không đều là một hàm số cùa thời gian 1. II ii t cần tìm tốc độ V - V r và qui luật chuyên động S Sịt . Đo ý nghĩa cơ học cúa đạo hàm ta phái tìm V i và sau dó tìm 5 y sao cho V t ư r và s í V r . Hàm sô V z phái lìm như thế gọi là một nguyên hàm của ư r và sự gọi là một nguyên hàm cùa V f . Cách giải bài toán này gọi là phép tìm nguyên hàm hay phép tính tích phân bất định. Một cách tống quát ta đi đến . Bịnh nghĩa ỉ -Nguyên hàm Cho hàm số y x trong một mien X nào đó nêu có một hàm só khác F x sao cho. F .v .v hay ilF x f x d x e Xthì F x gọi là một nguyên hàm cùa .v trong mien đó. Thi dụ 1 Nguyên hàm của - .1 là a - ĩ vì x X 2 2 2 Nguyên hàm cúa .r cost là F x - situ vì sirư cosr. Từ định nghĩa ta thày một hàm số có rat nhiêu nguyên hàm chăng hạn 3 5 2 2 2 159 lổng quái - í là mỏt hàng sô luỳ ý cung đều là nguyên hàm cùa .V vì dạo hàm cúa chúng dều bằng A. Cũng thố sim 1 sinr s ĩ tổng quát sinv . lù mội hằng só uỳ V cũng đều là nguyên hàm cùa cosv Ta thấy các nguyên hàm cùa A hay chi khác nhau mòt hằng sô cộng ong quát a có f Ịnh lý - Nếu trong một mien nào đó hàm sô F v là một nguyên hàm cùa t i thì mọi nguyên hàm khác cùa J a trong mien đó dcu có dạng F x í c à một hàng số tuỳ ý. Thực vậy. heo già thiết F x f x bây giờ xét một nguyên hàm tuỳ ý khííc Tía cùa a . theo định nghĩa í .v A-V Do đó C A - a T a - F a - A - d Suy ra. t n - F x c r là 1 hãng sò tuỳ ý. Vậy Ị D F x c. Vì O v là một nguyên hàm tuỳ ý cúa A-V nem mọi nguyên hàm cùa A-t đều có dạng a - Như vậy một hàm số có vô sò nguyên hàm dếu ớ trong biếu hức F v vứi F a là một nguyên hàm nào đó cùa .