tailieunhanh - Bài giảng Toán cao cấp A5 - Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Bài giảng "Toán cao cấp A5- Chương 5: Lý thuyết chuỗi" cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa, chuỗi số không âm, chuỗi đan dấu, chuỗi lũy thừa. nội dung chi tiết. | 10 3 2014 Chương 5. Chuỗi . Định nghĩa. . Chuỗi số không âm. . Chuỗi đan dấu. . Chuỗi lũy thừa. Chương 5. LÝ THUYẾT CHUỖI I. Khái niệm về chuỗi số 1. Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1 Cho dãy số thực un n 1 2 . Biểu thức u u9 . u . u 1 12 n n n 1 đgl một chuỗi số un đgl số hạng tổng quát thứ n. Tổng Sn u1 u2 . un đgl tổng riêng thứ n í dụ 1 Chuỗi cấp số nhân s qn n 0 của chuỗi. - Nếu lim Sn S hữu hạn thì chuỗi 1 được gọi n x là chuỗi hội tụ và S được gọi là tổng của chuỗi Sn và ta viết S y un. n n 1 - Chuỗi không hội tụ được gọi là chuỗi phân kỳ. Nếu q 1 thì chuỗi 1 băng - 1 - q ot y qn hội tụ và có tổng n 0 to ẵ à ot Nếu q 1 thì chuỗi qn phân kỳ. 1 10 3 2014 2. Điều kiện cần để chuôi hội tụ rc Định lý 1 Nếu chuôi V un hội tụ thì lim un 0. n tt n 1 Hệ quả 1 Nếu lim un 0 hoặc không tồn tại thì chuôi n tt V un phân kỳ. n 1 3. Các tính chất của chuôi Định lý 2 Cho các Khi ấy các chuôi chuôi V u V V hội tụ. n n n 1 n 1 V cu V u V n5 n n n 1 n 1 hội tụ và V cu u nn n 1 n 1 V u v V u V V . nn n n n 1 n 1 n 1 số không âm chuôi số dương Định nghĩa 2 Chuôi V un được gọi là chuôi số n 1 không âm nếu un 0 V n e N. Chuôi u . um . đgl chuôi dư của chuôi 1 . Định lý 3 Chuôi 1 hội tụ khi và chỉ khi chuôi 2 hội tụ. Hệ quả 2 Tính hội tụ hay phân kỳ của một chuôi số không đổi khi ta bớt đi hoặc thêm vào chuôi số đó một số hữu hạn các số hạng đầu tiên. Các tiêu chuân hội tụ của chuỗi số dương 1. Tiêu chuấn so sánh 1. . . Cho hai chuôi số dương V un V vn 0 un vn Vn e N. Khi đó thỏa mãn Nếu un 0 V n e N thì V un được gọi là chuôi sô dương thực sự . x i Nếu V vn hội tụ thì V un hội tụ. x tt ii Nếu V un phân kỳ thì V vn phân kỳ. 2 10 3 2014 2. Tiêu chuẩn so sánh 2 Cho hai chuỗi số dương X un X u lim - k. Khi đó n 1 n 1 n tt v n i k 0 X n 1 n vn hội tụ thì X u n 1 ii 0 k X un X Vn iii k X un hội tụ thì n 1 n 1 n 1 hội tụ. cùng bản chất. X vn hội tụ. n 1 3. Tiêu chuẩn tỷ sô D Alembert Cho chuỗi số dương X un. Đặt D lim n 1 . __ n u n 1 un i Nếu D 1 thì X un hội tụ. ii